Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 
L — середина ребра MB.
а) Докажите, что плоскости ACL и MDB перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
а) Пусть точка O — точка пересечения AC и BD. Заметим, что 
как диагонали квадрата. Кроме того, 
Поэтому, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, 
б) Обозначим угол между DM и AL буквой 
Отрезок MO — высота пирамиды MABCD. Тогда OL — средняя линия треугольника BDM, следовательно, 
Поэтому 
По условию 
Основание ABCD — квадрат со стороной, равной 5. Отрезок OA равен 
Поскольку 
и 
следовательно, OA перпендикуляр к плоскости MOB. Значит, 
Далее, из прямоугольного треугольника AOL находим
Боковое ребро 
поскольку OL — средняя линия треугольника BDM. Из прямоугольного треугольника MOD находим искомую высоту MO пирамиды MABCD:
Ответ: 10.