PDF-версии: 
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 
L — середина ребра MB.
а) Докажите, что плоскости ACL и MDB перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.
Решение. а) Пусть точка O — точка пересечения AC и BD. Заметим, что
как диагонали квадрата. Кроме того, 
Поэтому, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, 
б) Обозначим угол между DM и AL буквой 
Отрезок MO — высота пирамиды MABCD. Тогда OL — средняя линия треугольника BDM, следовательно, 
Поэтому 
По условию 
Основание ABCD — квадрат со стороной, равной 5. Отрезок OA равен 
Поскольку 
и 
следовательно, OA перпендикуляр к плоскости MOB. Значит, 
Далее, из прямоугольного треугольника AOL находим
Боковое ребро 
поскольку OL — средняя линия треугольника BDM. Из прямоугольного треугольника MOD находим искомую высоту MO пирамиды MABCD:
Ответ: 10.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |