В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 5, AD = 4, AA1 = 9. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 4 : 5, считая от вершины B.
а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1 — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1.
а) Пусть плоскость AOC1 пересекает ребро DD1 в точке P. Плоскость сечения пересекает плоскость CC1D1 по прямой C1P, параллельной прямой AO, следовательно, искомое сечение — параллелограмм AOC1P.
б) Прямоугольные треугольники ADP и C1B1O равны по катету и гипотенузе, а потому
По теореме Пифагора для треугольников ADP и ABO соответственно получаем:
то есть параллелограмм AOC1P — ромб. Его диагональ AC1 является диагональю параллелепипеда, а потому
По теореме Пифагора находим длину меньшей диагонали d ромба:
Таким образом,
Ответ: 