Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 501482

а) Решите уравнение:  косинус 2x плюс синус в квадрате x =0,25.

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка 3 Пи , дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Запишем уравнение в виде:

 косинус в квадрате x минус синус в квадрате x плюс синус в квадрате x = 0.25 равносильно косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка 3 Пи , дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Получим числа  дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

 

Замечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т. п.

 

Ответ: а) \left\ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 плюс Пи k: k принадлежит Z \; б)  дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 500366: 500587 501482 514505 Все

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 18.03.2014 19:21

Здравствуйте! Возможно я ошибаюсь, но разве когда  косинус x = минус a, x =\pm( Пи минус \arccos a) плюс 2 Пи n

т.е. x =\pm дробь: числитель: 2п, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n.

Александр Иванов

Вы правы. Но это ничего не меняет.

Гость 09.04.2014 22:50

А разве тогда будут существовать точки  дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби и  дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ?

Александр Иванов

будут:

при n=2 получаем  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи = дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи = дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Юлия Фаддейкина 03.05.2014 15:19

Здравствуйте! А будет ли ошибкой, если написать развернутый ответ: x =\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, x=\pm дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3 плюс 2 Пи k?

Александр Иванов

Это правильный ответ

Иван Кормщиков 05.01.2017 22:05

Здравствуйте, решал этот пример, но так и не понял, как мы получаем самый первый корень 10п/3?

Ведь, у нас только 2 решения п/3 + 2Пн;

и -(п/3) + 2Пн; значит и всего 2 корня.

Кирилл Колокольцев

Решение x=\pm дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3 плюс Пи k, k принадлежит \mathbb Z задает бесконечно корней. В зависимости от конкретного номера k мы будем получать конкретный корень.