PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB.
а) Докажите, что прямые SC и AB перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если SC = 8, AB = 6.
Решение. а) Пусть SO − высота пирамиды. Тогда проекция прямой SC на плоскость ABC это прямая CO. O − центр равностороннего треугольника ABC, поэтому
Значит, по теореме о трех перпендикулярах, 
б) Проведем перпендикуляр CQ к MK, так как треугольник CMK — равнобедренный, то Q — середина 
Из точки Q опустим перпендикуляр QP на плоскость основания. Точка P лежит на медиане CL треугольника 
Прямая 
параллельна прямой пересечения плоскостей CMK и ABC, 
и 
Следовательно, 
— линейный угол искомого угла между плоскостями.
Далее находим:
Откуда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |