Ре­ше­ние. Пусть AD  — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, опу­щен­ная на его ос­но­ва­ние BC, O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, P  — точка ее ка­са­ния с бо­ко­вой сто­ро­ной AB.

Тогда

Обо­зна­чим ∠BAD  =  α. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

Тогда

Пусть окруж­ность с цен­тром O₁ и ра­ди­у­сом r₁ ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон AB и AC в точ­ках F и G со­от­вет­ствен­но, а также ос­но­ва­ния BC. Тогда D  — точка ка­са­ния, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Пусть те­перь окруж­ность с цен­тром O₂ ра­ди­у­са r₂ ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB, про­дол­же­ния ос­но­ва­ния BC в точке Q и про­дол­же­ния бо­ко­вой сто­ро­ны AC в точке K. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му AO₂ и AD  — бис­сек­три­сы смеж­ных углов BAK и CAB зна­чит, ∠DAO₂  =  90°. Тогда ADQO₂  — пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но, r₂  =  O₂Q  =  AD  =  9. Ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AC и про­дол­же­ний ос­но­ва­ния BC и бо­ко­вой сто­ро­ны AB также равен 9.

Ответ: 9 или 36.