Тип 14 № 701510 
Стереометрическая задача. Объёмы многогранников
i
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC и пересекающая ребро SD в точке K.
а) Докажите, что K — середина ребра SD.
б) Найдите объем пирамиды SABCD, если AB = 12, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 60°.
Решение. 
а) Плоскость α параллельна плоскости SBC, поэтому плоскость α пересекает плоскость SAB по прямой, параллельной прямой SB. Проведем прямую MP параллельно прямой SB. Точка M — середина ребра AB, поэтому отрезок MP — средняя линия треугольника SAB, а потому точка P — середина ребра AS. Плоскость α пересекает плоскость основания по прямой, параллельной прямой BC. Проведем прямую MN параллельно прямой BC. Четырехугольник ABCD — квадрат, точка M — середина ребра AB, поэтому точка N — середина ребра DC. Плоскость α пересекает плоскость SDC по прямой, параллельной прямой SC. Проведем прямую NK параллельно прямой SC. Точка N — середина ребра DC, поэтому отрезок NK — средняя линия треугольника SDC, а потому точка K — середина ребра SD.
б) Высота правильной пирамиды падает в точку O пересечения диагоналей основания. Опустим перпендикуляр KH на плоскость основания. Прямая OD — проекция прямой SD на эту плоскость, поэтому точка H лежит на прямой OD. Прямые KH и SO параллельны, а потому точка K — середина ребра SD. Следовательно, отрезок KH — средняя линия треугольника SDO и 
Проведем через точку H прямую параллельно прямой AD. Пусть она пересекает ребра AB и DC в точках E и F соответственно.
Прямые FH и NO, 
поэтому отрезок FH — средняя линия треугольника DNO. Следовательно, точка F — середина отрезка DN и 
Получаем:
По теореме Пифагора для треугольника EMH находим:
Прямая MH — проекция прямой MK на плоскость основания, поэтому угол KMH — угол между прямой KM и плоскостью основания. По условию 
тогда из прямоугольного треугольника KMH получаем:
Отсюда 
и объем пирамиды SBACD равен:
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 
Получаем:
тогда из прямоугольного треугольника KMH получаем:
объем пирамиды SBACD равен:
