Тип 14 № 697418 
Стереометрическая задача. Расстояние от точки до плоскости
i
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка K — середина ребра A1B1. Плоскость α проходит через точки A, K и C.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 4.
Решение. 
а) Плоскость α пересекает нижнее основание призмы по прямой AC. Вследствие параллельности плоскостей оснований призмы заключаем, что плоскость α пересечет верхнее основание по прямой, параллельной прямой AC. Проведем через точку K прямую KM параллельно прямой AC. Прямые AC и A1C1 параллельны, поэтому параллельны прямые A1C1 и KM. Следовательно, по теореме Фалеса отрезок KM — средняя линия треугольника A1B1C1. Треугольники AA1K и CC1M равны по двум катетам, поэтому 
Таким образом, четырехугольник AKMC — равнобедренная трапеция.
б) Продлим прямые BB1, AK и CM до пересечения в точке P (см. рис.). Проведем высоту BN в треугольнике ABC, тогда прямая BN перпендикулярна прямой AC по построению, прямая PB перпендикулярна плоскости основания правильной призмы, а потому и прямой AC, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая AC перпендикулярна плоскости PNB. Построим перпендикуляр BH в треугольнике PNB. Прямая BH перпендикулярна прямой PN по построению и прямой AC по теореме о трех перпендикулярах, то есть прямая BH перпендикулярна плоскости α, отрезок BH — искомое расстояние.
Треугольники CPB и MPB1 подобны по двум углам, откуда 
то есть 
В равностороннем треугольнике ABC высота равна 
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы, поэтому в треугольнике PNB получаем:
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 
В равностороннем треугольнике ABC высота равна 
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы, поэтому в треугольнике PNB получаем:
