Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Дан прямоугольник ABCD. Известно, что CD = 3AD. Точка M — середина его стороны AD. На стороне CD отмечена точка N. Известно, что CN = 2ND. Точка K — середина отрезка CM.
а) Докажите, что точки B, N и K лежат на одной прямой.
б) Найдите KN, если известно, что 
В то же время 
и потому 
Значит, прямая CD — медиана треугольника MCP, а N — точка пересечения его медиан, поскольку 
Таким образом, прямая PN — также медиана треугольника MCP, поэтому она пересекает сторону CM в ее середине — точке K. Следовательно, точка K лежит на прямой PN, а значит, и на прямой BN.
По теореме Пифагора в треугольнике PDN:
откуда 
тогда 
Найдем координаты точек B и N, находим уравнение прямой BN:
Подставляя координаты точек, получаем:
Подставим в него координаты точки K: 
откуда 0 = 0. Таким образом, точка K принадлежит прямой BN.
то есть 
Следовательно, 
и 
Длина вектора 
2
Дан прямоугольник ABCD. Известно, что CD = 3AD. Точка M — середина его стороны AD. На стороне CD отмечена точка N. Известно, что CN = 2ND. Точка K — середина отрезка CM.
а) Докажите, что точки B, N и K лежат на одной прямой.
б) Найдите KN, если известно, что AD = 4.
но в то же время 
Следовательно, 
По теореме Пифагора в треугольнике PDN:
то есть 
Следовательно, 
и 
Длина вектора 