Дан прямоугольник ABCD. Известно, что CD = 3AD. Точка M — середина его стороны AD. На стороне CD отмечена точка N. Известно, что CN = 2ND. Точка K — середина отрезка CM.
а) Докажите, что точки B, N и K лежат на одной прямой.
б) Найдите KN, если известно, что AD = 4.
а) Пусть прямые BN и AD пересекаются в точке P. Углы CBP и NPD равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AP и секущей BP. Значит, прямоугольные треугольники BCN и PDN подобны по острому углу, откуда следуют соотношения
Тогда 
но в то же время 
Следовательно, 
Значит, прямая CD — медиана треугольника MCP, а точка N — точка пересечения трех его медиан, потому что 
Таким образом, прямая PN — также медиана треугольника MCP, поэтому пересекает сторону CM в ее середине — точке K. Следовательно, точка K лежит на прямой PN, а значит и на прямой BN.
б) Из условия получаем, что 
По теореме Пифагора в треугольнике PDN:
По свойству точки пересечения медиан 
откуда 
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Пусть 
тогда 
Найдем координаты точек B и N, находим уравнение прямой BN:
Уравнение прямой BN имеет вид 
Подставляя координаты точек
Значит, уравнение прямой BN есть 
Подставим в него координаты точки K: 
откуда 0 = 0. Таким образом, точка K принадлежит прямой BN.
б) Из условия 
то есть 
Следовательно, 
и 
Длина вектора 
