PDF-версии: 
В ромбе ABCD точки K и L — середины сторон BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что SAPQ = SBKP + SDLQ.
б) Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD 
Решение. а) Пусть диагонали ромба пересекаются в точке O. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, поэтому
откуда 
Аналогично получаем, что 
Таким образом,
б) В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке P, поэтому 
Аналогично из треугольника ADC 
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, положим 
По теореме косинусов в треугольнике PBK:
Окружность, вписанная в пятиугольник CKPQL, вписана и в четырехугольник CKPD. Следовательно, суммы длин его противоположных сторон равны: 
то есть
Тогда 
а по теореме Пифагора в треугольнике BOC:
Окружность, вписанная в четырехугольник CKPD, вписана и в треугольник BCD. Тогда длину ее радиуса можно вычислить по по формуле 
где S — площадь, а p — полупериметр треугольника. Таким образом,
Ответ: б) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
