а)  Пусть угол ABC равен α. Цен­траль­ный угол COA и впи­сан­ный угол CBA опи­ра­ют­ся на одну дугу, зна­чит, угол COA равен 2α. Впи­сан­ные в мень­шую окруж­ность углы COA и CPA опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Тогда углы CPA и BAC равны 2α. Тре­уголь­ни­ки ABC и PAC с общим углом C по­доб­ны по двум углам.

б)  По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки ABC и PAC по­доб­ны, то угол PAC равен углу ABC, то есть равен α. Тогда от­ре­зок AP  — бис­сек­три­са. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков на­хо­дим, что от­ку­да

По свой­ству бис­сек­три­сы тогда

Ответ: б)  5.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC от­ку­да

а по­то­му Далее по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что по­это­му

Итак, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC:

а)  Пусть угол BAC равен α. Цен­траль­ный угол COB и впи­сан­ный угол CBA опи­ра­ют­ся на одну дугу, зна­чит, угол COB равен 2α. Впи­сан­ные углы COB и CPA опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Тогда углы PAC и BAC равны 2α. Тре­уголь­ни­ки ABC и PAC по­доб­ны по двум углам.

б)  Тре­уголь­ни­ки ABC и PAC по­доб­ны, по­это­му угол OAC равен углу ABC, то есть равен α. Тогда луч AP  — бис­сек­три­са. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по­лу­чим:

от­ку­да

По свой­ству бис­сек­три­сы по­лу­ча­ем:

Тогда

Ответ: б)  4.