ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 681167 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 1;

Задания 15 ЕГЭ–2025.

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 16, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 .$

Решение.

Рассмотрим числитель дроби:

$2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 16 = 2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 8 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 20 умножить на 2 в степени x минус 16.$

Пусть $2 в степени x = t,$ получим: $t в кубе минус 8t в квадрате плюс 20t минус 16.$ Заметим, что t  =  2 является корнем данного многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители, разделим его на t − 2 «в столбик» или применив схему Горнера. Таким образом, имеем:

$t в кубе минус 8t в квадрате плюс 20t минус 16 = левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 6t плюс 8 правая круглая скобка = левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка .$

Вернемся к исходному неравенству:

$дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 16, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0.$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого рационализируем неравенство, применив теорему о знаках: при положительных a выражения $левая круглая скобка a в степени b минус a в степени c правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка$ имеют одинаковые знаки. Получим:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше 1, x больше или равно 2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше 1, x больше или равно 2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений x не равно 1, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше 1, x больше или равно 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 681167: 681220 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 1;

Задания 15 ЕГЭ–2025.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 15 № 681220 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток;

Задания 15 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 2.

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 10 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 17 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 8, знаменатель: x конец дроби больше или равно 0.$

Решение.

Рассмотрим отдельно числитель дроби. Сделаем замену $2 в степени x = t,$ получим: $t в кубе минус 10t в квадрате плюс 17t минус 8 .$ Заметим, что t  =  1 является корнем данного многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители, разделим его на t − 1 «в столбик» или применив схему Горнера. Получаем:

$t в кубе минус 10t в квадрате плюс 17t минус 8 = левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 9t плюс 8 правая круглая скобка = левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка .$

Вернемся к исходному неравенству:

$дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка минус 10 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 17 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 8, знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 8 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0.$

Решим неравенство методом интервалов. Для этого рационализируем неравенство, применив теорему о знаках: при положительных a выражения $левая круглая скобка a в степени b минус a в степени c правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус c правая круглая скобка$ имеют одинаковые знаки. Получим:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени 0 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в кубе правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате умножить на x в квадрате умножить на левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно \underset x не равно 0 \mathop равносильно x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше 0, x больше или равно 3. конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени 0 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в кубе правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате умножить на x в квадрате умножить на левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно \underset x не равно 0 \mathop равносильно x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше 0, x больше или равно 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 681167: 681220 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток;

Задания 15 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 2.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе