ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 680578 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем уравнение:

$9 в степени x минус 3 в степени x умножить на левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка =3 в степени x умножить на левая круглая скобка 16 минус 2 в степени a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени a минус 16 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 9 в степени x минус 3 в степени x умножить на левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка минус 3 в степени x умножить на левая круглая скобка 16 минус 2 в степени a правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени a минус 16 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 9 в степени x минус 3 в степени x умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 16 минус 2 в степени a правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 4 в степени a плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 минус 2 в степени a правая круглая скобка =0,$

откуда $3 в степени x = 4 в степени a плюс 4$ или $3 в степени x = 16 минус 2 в степени a .$

Уравнение $3 в степени x =4 в степени a плюс 4$ при любом значении a имеет один корень. Значит, исходное уравнение имеет единственное решение в одном из двух случаев:

—  уравнение $3 в степени x = 16 минус 2 в степени a$ корней не имеет;

—  корни уравнений $3 в степени x = 4 в степени a плюс 4$ и $3 в степени x = 16 минус 2 в степени a$ равны.

Уравнение $3 в степени x =16 минус 2 в степени a$ не имеет корней при $16 минус 2 в степени a меньше или равно 0$ или $a больше или равно 4.$ Уравнения $3 в степени x =4 в степени a плюс 4$ и $3 в степени x =16 минус 2 в степени a$ имеют равные корни при

$4 в степени a плюс 4=16 минус 2 в степени a равносильно 4 в степени a плюс 2 в степени a минус 12=0 равносильно 2 в степени a =3 равносильно a= логарифм по основанию 2 3.$

Ответ: $левая фигурная скобка логарифм по основанию 2 3 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 680578: 680798 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 680798 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем уравнение:

$25 в степени x минус 5 в степени x умножить на левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка = 5 в степени x умножить на левая круглая скобка 27 минус 3 в степени a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени a минус 27 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 25 в степени x минус 5 в степени x умножить на левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка минус 5 в степени x умножить на левая круглая скобка 27 минус 3 в степени a правая круглая скобка минус левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени a минус 27 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 25 в степени x минус 5 в степени x умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 27 минус 3 в степени a правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка \left27 минус 3 в степени a правая круглая скобка =0,$

откуда $5 в степени x = 9 в степени a плюс 7$ или $5 в степени x = 27 минус 3 в степени a .$

Уравнение $5 в степени x =9 в степени a плюс 7$ при любом значении a имеет один корень. Значит, исходное уравнение имеет единственное решение в одном из двух случаев:

—  уравнение $5 в степени x = 27 минус 3 в степени a$ корней не имеет;

—  корни уравнений $5 в степени x = 9 в степени a плюс 7$ и $5 в степени x = 27 минус 3 в степени a$ равны.

Уравнение $5 в степени x =27 минус 3 в степени a$ не имеет корней при $27 минус 3 в степени a меньше или равно 0$ или $a больше или равно 3.$ Уравнения $5 в степени x =9 в степени a плюс 7$ и $5 в степени x =27 минус 3 в степени a$ имеют равные корни при

$9 в степени a плюс 7=27 минус 3 в степени a равносильно 9 в степени a плюс 3 в степени a минус 20=0 равносильно 3 в степени a =4 равносильно a= логарифм по основанию 3 4.$

Ответ: $левая фигурная скобка логарифм по основанию 3 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 680578: 680798 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе