Тип 19 № 676939 
Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках
i
На доске написаны цифры 111111222222 (шесть 1 и шесть 2). Арина составила из этих двенадцати цифр 5 попарно различных натуральных чисел, каждое из которых не кратно 3.
а) Может ли среди составленных Ариной чисел быть ровно три трёхзначных?
б) Может ли быть среди составленных Ариной чисел быть хотя бы одно шестизначное?
в) Пусть P — наибольшее из составленных Ариной чисел. Найдите наибольшее значение, которое может принимать P.
Решение. а) Да, например: 1, 11, 122, 212, 221.
б) Нет. Если бы среди составленных Ариной чисел быть хотя бы одно шестизначное, то из остальных шести цифр были бы составлены 4 числа. Существуют только два однозначных и два двузначных подходящих числа — это 1, 2, 11 и 22. Тогда шестизначное состоит из трех единиц и трех двоек, а потому кратно трем, поскольку сумма цифр равна 9.
в) Из пункта б) видно, что шестизначных чисел и чисел из большего количества цифр нет. Самое большое пятизначное число из единиц и двоек — это 22 222, но тогда не менее трех чисел состоят из одних единиц, поскольку осталась всего одна двойка, значит, это как минимум 1, 11 и 1111, что невозможно, ведь потребуется семь единиц. Числа 22 221 и 22 212 кратны трем. Для числа 22 211 можно подобрать пример: 1, 2, 11, 122, 22 211.
Ответ: а) да, б) нет, в) 22 211.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да, б) нет, в) 22 211.
