а)  Вы­бе­рем на ребре приз­мы DD₁ точку D₂ такую, чтобы от­рез­ки CD₂ и C₁D были пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда плос­кость ACD₂ пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку C₁D, по­сколь­ку от­рез­ки AC и CD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Зна­чит, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок C₁D пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AC. На­ко­нец, пер­пен­ди­ку­ляр­ны от­рез­ки CD₂ и C₁D и от­рез­ки AC и C₁D, по­это­му по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти плос­кость ACD₂ пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку C₁D. Через дан­ную точку про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная дан­ной пря­мой, сле­до­ва­тель­но, плос­кость α сов­па­да­ет с плос­ко­стью ACD₂. За­ме­тим, что то есть по­доб­ны тре­уголь­ни­ки C₁CD и CDD₂, от­ку­да сле­ду­ет

Таким об­ра­зом, D₁D₂  =  3 и DD₂ : D₁D₂  =  1 : 3.

б)  Пусть пря­мая F₁D пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке P, а пря­мая C₁D  — в точке  H. Тогда от­ре­зок  PH  — про­ек­ция пря­мой F₁D на плос­кость  α. Обо­зна­чим ис­ко­мый угол  φ. Тогда

Из тре­уголь­ни­ка FED по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков DFF₁ и DCC₁ со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка F₁DC₁:

Зна­чит, то есть

Ответ: б) 

а)  Вы­бе­рем на ребре приз­мы AA₁ точку A₂ такую, чтобы от­рез­ки BA₂ и B₁A были пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда плос­кость DBA₂ пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку B₁D, по­сколь­ку от­рез­ки BD и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Зна­чит, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок B₁A пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку BD. На­ко­нец, так как пер­пен­ди­ку­ляр­ны от­рез­ки BA₂ и B₁A и от­рез­ки BD и B₁A, то про при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти плос­кость DBA₂ пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку B₁A. Через дан­ную точку про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная дан­ной пря­мой, сле­до­ва­тель­но, плос­кость α сов­па­да­ет с плос­ко­стью DBA₂. За­ме­тим, что то есть по­доб­ны тре­уголь­ни­ки B₁BA и BAA₂, от­ку­да сле­ду­ет

Таким об­ра­зом, A₁A₂  =  3 и AA₂ : A₁A₂  =  1 : 3.

б)  Пусть пря­мая C₁A пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке P, а пря­мая B₁A  — в точке H. Тогда от­ре­зок PH  — про­ек­ция пря­мой C₁A на плос­кость α. Обо­зна­чим ис­ко­мый угол φ. Тогда Из тре­уголь­ни­ка CBA по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков ACC₁ и ABB₁ со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка C₁AB₁:

Зна­чит, то есть

Ответ: б)