ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 676808 Добавить в вариант

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника

Планиметрическая задача. Окружности и треугольники, разные задачи

Точка О  — центр описанной окружности около остроугольного треугольника АВС. На луче АО за точкой О выбрана точка Р так, что $\angle BAC плюс \angle APC = 90 градусов.$

а)  Докажите, что $\angle OBC = \angle OPC.$

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ОРС, если BC  =  24, $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Решение.

а)  Пусть $\angle BAC = альфа ,$ тогда $\angle BOC = 2 альфа$ как центральный угол. Отрезки BO и OC равны как радиусы. Следовательно, в равнобедренном треугольнике OBC

$\angle OBC = \angle OCB = дробь: числитель: 180 градусов минус 2 альфа , знаменатель: 2 конец дроби = 90 градусов минус альфа = \angle APC.$

б)  По теореме синусов в треугольнике ABC получаем:

$2 OC = дробь: числитель: BC, знаменатель: синус альфа конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате альфа конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: \tfrac45 конец дроби = 30,$

то есть OC  =  15. По теореме синусов в треугольнике OPC находим:

$2R = дробь: числитель: OC, знаменатель: синус \angle OPC конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: синус левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: косинус альфа конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: \tfrac35 конец дроби = 25,$

откуда следует, что R  =  12,5.

Ответ: б)  12,5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  12,5.

Аналоги к заданию № 676808: 676827 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 17 № 676827 Добавить в вариант

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Планиметрическая задача. Окружности и треугольники, разные задачи

а)  Докажите, что $\angle OBC = \angle OPC.$

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ОРС, если BC  =  72, $косинус \angle BAC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Решение.

а)  Пусть $\angle BAC = альфа ,$ тогда $\angle BOC = 2 альфа$ как центральный угол. Отрезки BO и OC равны как радиусы. Следовательно, в равнобедренном треугольнике OBC:

б)  По теореме синусов в треугольнике ABC получаем:

$2 OC = дробь: числитель: BC, знаменатель: синус альфа конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате альфа конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: \tfrac45 конец дроби = 90,$

то есть OC  =  45. По теореме синусов в треугольнике OPC находим:

$2R = дробь: числитель: OC, знаменатель: синус \angle OPC конец дроби = дробь: числитель: 45, знаменатель: синус левая круглая скобка 90 градусов минус альфа правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 45, знаменатель: косинус альфа конец дроби = дробь: числитель: 45, знаменатель: \tfrac35 конец дроби = 75,$

откуда следует, что R  =  37,5.

Ответ: б)  37,5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  37,5.

Аналоги к заданию № 676808: 676827 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе