Усло­вие «чтобы сбить во­семь ми­ше­ней, стрел­ку по­тре­бо­ва­лось 11 вы­стре­лов» озна­ча­ет, что по­след­ний вы­стрел был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 10 вы­стре­лов стре­лок по­ра­зил ровно 7 ми­ше­ней. В любую из ми­ше­ней при каж­дом вы­стре­ле стре­лок по­па­да­ет с не­из­мен­ной ве­ро­ят­но­стью. Тогда ве­ро­ят­ность сбить че­ты­ре или пять ми­ше­ней пер­вы­ми пятью вы­стре­ла­ми равна ве­ро­ят­но­сти сбить их по­след­ни­ми пятью вы­стре­ла­ми. Сле­до­ва­тель­но, каж­дая их этих ве­ро­ят­но­стей равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Из­ло­жим это же ре­ше­ние более по­дроб­но.

Усло­вие «чтобы сбить во­семь ми­ше­ней, стрел­ку по­тре­бо­ва­лось 11 вы­стре­лов» озна­ча­ет, что по­след­ний вы­стрел был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 10 вы­стре­лов стре­лок 7 раз попал по ми­ше­ням и 3 раза про­мах­нул­ся. Это могло про­изой­ти лишь в ре­зуль­та­те на­ступ­ле­ния че­ты­рех не­сов­мест­ных со­бы­тий A  — D, пред­став­лен­ных в таб­ли­це.

Со­бы­тия А, D и B, C сим­мет­рич­ны, их ве­ро­ят­но­сти по­пар­но равны. Пусть тогда:

Сле­до­ва­тель­но, Со­бы­тие «пер­вы­ми пятью вы­стре­ла­ми стре­лок сбил хотя бы че­ты­ре ми­ше­ни» яв­ля­ет­ся сум­мой не­сов­мест­ных со­бы­тий А и B, от­ку­да на­хо­дим:

Ответ: 0,5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Усло­вие «чтобы сбить во­семь ми­ше­ней, стрел­ку по­тре­бо­ва­лось 11 вы­стре­лов» озна­ча­ет, что по­след­ний вы­стрел был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 10 вы­стре­лов стре­лок по­ра­зил ровно 7 ми­ше­ней, а про­мах­нул­ся ровно 3 раза. Про­мах­нуть­ся три раза из де­ся­ти можно спо­со­ба­ми.

Сбить че­ты­ре или пять ми­ше­ней пер­вы­ми пятью вы­стре­ла­ми можно лишь в двух слу­ча­ях: про­мах­нуть­ся один раз или не про­мах­нуть­ся ни разу. В пер­вом слу­чае среди остав­ших­ся пяти вы­стре­лов было два про­ма­ха. Во вто­ром слу­чае из пяти остав­ших­ся вы­стре­лов про­ма­хов было три. Все эле­мен­тар­ные ис­хо­ды рав­но­ве­ро­ят­ны, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,5.

Усло­вие «чтобы за­бро­сить 6 мячей по­тре­бо­ва­лось 10 брос­ков» озна­ча­ет, что по­след­ний бро­сок был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 9 брос­ков бас­кет­бо­лист попал в кор­зи­ну ровно 5 раз, а про­мах­нул­ся ровно 4 раза. Про­мах­нуть­ся че­ты­ре раза из де­вя­ти можно спо­со­ба­ми.

При пер­вых че­ты­рех брос­ках по­пасть в кор­зи­ну не более од­но­го раза можно лишь в двух слу­ча­ях: про­мах­нуть­ся че­ты­ре раза или про­мах­нуть­ся три раза. В пер­вом слу­чае среди остав­ших­ся пяти брос­ков про­ма­хов не было. Во вто­ром слу­чае из пяти остав­ших­ся брос­ков был один про­мах. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Округ­ляя до ты­сяч­ных, по­лу­ча­ем 0,167.

Ответ: 0,167.

Из­ло­жим это же ре­ше­ние более по­дроб­но.

Усло­вие «чтобы за­бро­сить 6 мячей по­тре­бо­ва­лось 10 брос­ков» озна­ча­ет, что по­след­ний бро­сок был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 9 брос­ков бас­кет­бо­лист попал в кор­зи­ну ровно 5 раз, а про­мах­нул­ся ровно 4 раза. Это могло про­изой­ти лишь в ре­зуль­та­те на­ступ­ле­ния пяти не­сов­мест­ных со­бы­тий A  — E, пред­став­лен­ных в таб­ли­це.

Со­бы­тие «при пер­вых четырёх брос­ках бас­кет­бо­лист попал в кор­зи­ну не более од­но­го раза» яв­ля­ет­ся сум­мой не­сов­мест­ных со­бы­тий D и E. Число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов, со­от­вет­ству­ю­щих со­бы­тию D, равно со­бы­тию E  — Общее число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов равно Все эле­мен­тар­ные ис­хо­ды рав­но­ве­ро­ят­ны, тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Округ­ляя до ты­сяч­ных, по­лу­ча­ем 0,167.

Ответ: 0,167.

Усло­вие «чтобы сбить во­семь ми­ше­ней, стрел­ку по­тре­бо­ва­лось 11 вы­стре­лов» озна­ча­ет, что по­след­ний вы­стрел был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 10 вы­стре­лов стре­лок по­ра­зил ровно 7 ми­ше­ней. В любую из ми­ше­ней при каж­дом вы­стре­ле стре­лок по­па­да­ет с не­из­мен­ной ве­ро­ят­но­стью. Тогда ве­ро­ят­ность сбить две или три ми­ше­ни пер­вы­ми пятью вы­стре­ла­ми равна ве­ро­ят­но­сти сбить их по­след­ни­ми пятью вы­стре­ла­ми. Сле­до­ва­тель­но, каж­дая их этих ве­ро­ят­но­стей равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Из­ло­жим это же ре­ше­ние более по­дроб­но.

Усло­вие «чтобы сбить во­семь ми­ше­ней, стрел­ку по­тре­бо­ва­лось 11 вы­стре­лов» озна­ча­ет, что по­след­ний вы­стрел был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 10 вы­стре­лов стре­лок 7 раз попал по ми­ше­ням и 3 раза про­мах­нул­ся. Это могло про­изой­ти лишь в ре­зуль­та­те на­ступ­ле­ния че­ты­рех не­сов­мест­ных со­бы­тий A  — D, пред­став­лен­ных в таб­ли­це.

Со­бы­тия А, D и B, C сим­мет­рич­ны, их ве­ро­ят­но­сти по­пар­но равны. Пусть тогда:

Сле­до­ва­тель­но, Со­бы­тие «пер­вы­ми пятью вы­стре­ла­ми стре­лок сбил мень­ше четырёх ми­ше­ней» яв­ля­ет­ся сум­мой не­сов­мест­ных со­бы­тий C и D, от­ку­да на­хо­дим:

Ответ: 0,5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Усло­вие «чтобы сбить во­семь ми­ше­ней, стрел­ку по­тре­бо­ва­лось 11 вы­стре­лов» озна­ча­ет, что по­след­ний вы­стрел был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 10 вы­стре­лов стре­лок по­ра­зил ровно 7 ми­ше­ней, а про­мах­нул­ся ровно 3 раза. Про­мах­нуть­ся три раза из де­ся­ти можно спо­со­ба­ми.

Сбить три или две ми­ше­ни пер­вы­ми пятью вы­стре­ла­ми можно лишь в двух слу­ча­ях: про­мах­нуть­ся два раза или про­мах­нуть­ся три раза. В пер­вом слу­чае среди остав­ших­ся пяти вы­стре­лов был один про­мах. Во вто­ром слу­чае из пяти остав­ших­ся вы­стре­лов про­ма­хов не было. Все эле­мен­тар­ные ис­хо­ды рав­но­ве­ро­ят­ны, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,5.

Усло­вие «чтобы сбить во­семь ми­ше­ней, стрел­ку по­тре­бо­ва­лось 9 вы­стре­лов» озна­ча­ет, что по­след­ний вы­стрел был по­па­да­ни­ем. Зна­чит, за пер­вые 8 вы­стре­лов стре­лок по­ра­зил ровно 7 ми­ше­ней и ровно один раз про­мах­нул­ся, что можно сде­лать 8 спо­со­ба­ми. В любую из ми­ше­ней при каж­дом вы­стре­ле стре­лок по­па­да­ет с не­из­мен­ной ве­ро­ят­но­стью. Про­мах­нуть­ся один раз при пер­вых пяти вы­стре­лах можно пятью спо­со­ба­ми. Тогда ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна ве­ро­ят­но­сти ровно од­но­го про­ма­ха при пер­вых пяти вы­стре­лах и равна

Ответ: 0,625.