Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Изобразим первое уравнение на плоскости:
Система задает часть параболы 
расположенную не выше прямой 
Найдем абсциссу вершины параболы: 
тогда 
Найдем точки пересечения функций 
и 
Таким образом, абсциссы точек пересечения функций равны 0 и 7, следовательно, ординаты точек пересечения равны y(0) = 2 и y(7) = 9.
Прямая 
имеет всегда одну общую точку с прямой 
так как не параллельна ей, следовательно, система будет иметь два различных решения в двух случаях:
1) если прямая будет являться касательной к параболе и точка касания будет лежать ниже прямой 
2) если прямая будет иметь две общие точки с параболой одна из которых будет лежать ниже прямой а вторая не ниже этой прямой (то есть вторая точка либо совпадает с точкой пересечения прямых и либо лежит выше прямой 
).
Рассмотрим первый случай. Найдем значение a, при котором уравнение 
имеет одно решение. Выполним преобразования:
Квадратное уравнение имеет единственное решение тогда, когда его дискриминант равен нулю. Имеем:
При a = −23 уравнение 
имеет единственное решение, x = 5. Проверим, что при x = 5 точка касания лежит не ниже прямой
Рассмотрим второй случай. Если прямая проходит ниже точки (7; 9), но выше точки (5; −3), то обе точки пересечения с параболой будут лежать ниже прямой а значит будет еще три различных решения.
Если прямая проходит через точку (0; 2) или выше, то обе точки пересечения с параболой будут лежать не ниже прямой а значит, всего будет одно решение. Следовательно, прямая должна проходить ниже точки (0; 2) и не ниже точки (7; 9):
Ответ: 
Приведем другое решение.
Определим, при каких a уравнение 
имеет 2 различных решения. Имеем:
Рассмотрим первый случай:
отсюда a = −23, 
— верно.
Рассмотрим второй случай:
Пусть 
тогда 
Имеем:
Так как 
получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
заключаем, что парабола 
и прямая 
пересекаются в точках 
и 
Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой 
лежащих не выше прямой 
имеет один корень:
Значит, при этом значении параметра прямая 
имеет только одну общую точку с параболой 
выделена на рисунке красным. 
выделена на рисунке зеленым
выделена на рисунке синим.
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения ;
— два решения;
— одно решение.
или 
откуда 
либо является решением системы: 
при условии 
и найдём количество корней получившегося уравнения в зависимости от a. 
откуда 
при условии 
Дискриминант этого уравнения равен 
имеет два корня при 
имеет единственный корень x = 4 при 
и не имеет корней при 
функция 
принимает наименьшее значение при x = 4, и это значение отрицательно. Следовательно, больший корень уравнения 
удовлетворяет условию 
тогда и только тогда, когда 
откуда 
удовлетворяет условию 
откуда 
Число 
является корнем квадратного уравнения 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при 
