a)  Пусть точки M, N, M₁ и N₁  — се­ре­ди­ны рёбер AB, BC, A₁B₁ и B₁C₁. Четырёхуголь­ник MNN₁M₁ яв­ля­ет­ся квад­ра­том, по­это­му его диа­го­на­ли MN₁ и NM₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Пусть точка P  — се­ре­ди­на BB₁, а точка O  — центр грани ACC₁A₁. Пря­мая OP пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MNN₁, по­это­му пря­мая OP пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой M₁N.

Пря­мая NM₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым MN₁ и OP, по­это­му плос­кость α про­хо­дит через пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые MN₁ и OP. Пусть пря­мые PM и AA₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, а пря­мая OK пе­ре­се­ка­ет рёбра AC и A₁C₁ в точ­ках F и E со­от­вет­ствен­но. Пя­ти­уголь­ник EN₁PMF  — се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α.

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков PBM и KAM сле­ду­ет, что AK  =  PB, по­это­му Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков EA₁K и FAK сле­ду­ет, что

а зна­чит, и

б)  Плос­ко­сти ABC и α пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой FM. Пря­мая M₁N пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α, сле­до­ва­тель­но, плос­ко­сти MNN₁M₁ и α пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Зна­чит, угол N₁MN  — это ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и α, Пя­ти­уголь­ник TFMBN яв­ля­ет­ся ор­то­го­наль­ной про­ек­ци­ей пя­ти­уголь­ни­ка EN₁PMF на плос­кость ABC. Имеем

и ана­ло­гич­но Зна­чит,

и

Ответ: б)

a)  Пусть точки M, N, M₁ и N₁  — се­ре­ди­ны рёбер AB, BC, A₁B₁ и B₁C₁. Четырёхуголь­ник MNN₁M₁ яв­ля­ет­ся квад­ра­том, по­это­му его диа­го­на­ли MN₁ и NM₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

Пусть точка P  — се­ре­ди­на BB₁, а точка O  — центр грани ACC₁A₁. Пря­мая OP пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MNN₁, по­это­му пря­мая OP пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой M₁N.

Пря­мая NM₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым MN₁ и OP, по­это­му плос­кость α про­хо­дит через пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые MN₁ и OP.

Пусть пря­мые PM и AA₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, а пря­мая OK пе­ре­се­ка­ет рёбра AC и A₁C₁ в точ­ках F и E со­от­вет­ствен­но. Пя­ти­уголь­ник EN₁PMF  — се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α.

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков PBM и KAM сле­ду­ет, что AK  =  PB, по­это­му Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков EA₁K и FAK сле­ду­ет, что

а зна­чит, и

б)  Плос­ко­сти ABC и α пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой FM. Пря­мая M₁N пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α, сле­до­ва­тель­но, плос­ко­сти MNN₁M₁ и α пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Зна­чит, угол N₁MN  — это ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и α, Пя­ти­уголь­ник TFMBN яв­ля­ет­ся ор­то­го­наль­ной про­ек­ци­ей пя­ти­уголь­ни­ка EN₁PMF на плос­кость ABC. Имеем

и ана­ло­гич­но Зна­чит,

и

Ответ: б)