PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 длина ребра основания равна 4, а длина бокового ребра равна 2.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α, проходящей через середину ребра AB перпендикулярно отрезку, соединяющему середины рёбер BC и A1B1, делит ребро AC в отношении 1 : 3, считая от вершины A.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.
Решение. a) Пусть точки M, N, M1 и N1 — середины рёбер AB, BC, A1B1 и B1C1. Четырёхугольник MNN1M1 является квадратом, поэтому его диагонали MN1 и NM1 перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть
Прямая NM1 перпендикулярна прямым MN1
Из равенства треугольников PBM и KAM следует, что AK = PB, поэтому 
Из подобия треугольников EA1K и FAK следует, что
а 
значит, 
и 
б) Плоскости ABC и α пересекаются по прямой FM. Прямая M1N перпендикулярна плоскости α, следовательно, плоскости MNN1M1 и α перпендикулярны. Значит, угол N1MN — это линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и α, 
Пятиугольник TFMBN является ортогональной проекцией пятиугольника EN1PMF на плоскость ABC. Имеем
и аналогично 
Значит,
и
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Из подобия треугольников EA1K и FAK следует, что 
