ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 639002 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $2 косинус в кубе x= минус синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

a)  Запишем уравнение в виде

$2 косинус в кубе x минус косинус x=0 равносильно косинус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка =0.$

Значит, или $косинус x=0,$ откуда следует, что $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,$ $n принадлежит Z ,$ или

$косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус x= \pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда следует, что $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $k принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка .$ Получим числа $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : n, k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 639002: 639110 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 13 № 639110 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $4 косинус в кубе x= синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

a)  Запншем уравнение в виде

$4 косинус в кубе x минус косинус x=0 равносильно косинус x умножить на левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка =0 .$

Значит, или $косинус x=0,$ откуда следует, что $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ $k принадлежит Z ,$ или

$косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно косинус x= \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи m, конец совокупности . n, m принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$ Получим числа: $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи m : k, n, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 639002: 639110 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе