PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет четыре различных корня.
Решение. При
уравнение 
не имеет корней, поскольку его левая часть принимает неотрицательные значения, а правая — отрицательные.
При 
уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
и 
При 
уравнение 
принимает вид:
Получившееся уравнение задаёт на плоскости Оxа дугу ω1 окружности с центром в точке (4; 3) радиусом 5, лежащую в полуплоскости 
с концами в точках (0; 0) и (1; −1).
При уравнение 
принимает вид:
Получившееся уравнение задаёт на плоскости Оха дугу ω2 окружности с центром в точке (2; 1) радиусом 
лежащую в полуплоскости с концами в точках (0; 0) и (1; −1).
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой 
с объединением дуг ω1 и ω2.
Дуга ω1 пересекается с прямой в двух точках при 
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
Дуга ω2 пересекается с прямой в двух точках при 
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
При 
и при 
прямая проходит через общую точку дуг ω1 и ω2.
Следовательно, исходное уравнение имеет четыре различных корня при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и / или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружностей и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
уравнение 
не имеет корней, поскольку его левая часть принимает неотрицательные значения, а правая — отрицательные.
уравнение 
и 
принимает вид: 
радиусом 
лежащую в полуплоскости 
и 
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой 
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
и 
но неверно определены промежутки значений a