а)  Пусть пер­во­на­чаль­но на доске 11 раз было за­пи­са­но число 19 и один раз число 55. Тогда сумма этих чисел равна 264. После пе­ре­ста­нов­ки цифр на доске 11 раз ока­за­лось за­пи­са­но число 91 и один раз число 55. Сумма этих чисел равна 1056  =  4 · 264.

б)  Пусть на доске были на­пи­са­ны дву­знач­ные числа Обо­зна­чим По усло­вию, и Тогда раз­ность этих чисел равна Но левая часть по­след­не­го ра­вен­ства де­лит­ся на 9, а пра­вая не де­лит­ся. Зна­чит, такая си­ту­а­ция не­воз­мож­на.

в)  Пусть на доске были на­пи­са­ны дву­знач­ные числа Обо­зна­чим По усло­вию и нужно найти наи­боль­шее зна­че­ние числа Тогда

Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа A. По­сколь­ку по­лу­ча­ем По­это­му

сле­до­ва­тель­но, то есть Зна­чит,

При­ведём при­мер, по­ка­зы­ва­ю­щий, что число S дей­стви­тель­но может быть рав­ным 1254. Пусть пер­во­на­чаль­но на доске 13 раз было за­пи­са­но число 19 и один раз число 17. Тогда сумма этих чисел равна 264. После пе­ре­ста­нов­ки цифр на доске 13 раз ока­за­лось за­пи­са­но число 91 и один раз число 71. Сумма этих чисел равна 1254.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1254.

а)  Пусть пер­во­на­чаль­но на доске 7 раз было за­пи­са­но число 19 и один раз число 32. Тогда сумма этих чисел равна 165. После пе­ре­ста­нов­ки цифр на доске 7 раз ока­за­лось за­пи­са­но число 91 и один раз число 23. Сумма этих чисел равна 660  =  4 · 165.

б)  Пусть на доске были на­пи­са­ны дву­знач­ные числа Обо­зна­чим По усло­вию, и Тогда раз­ность этих чисел равна Но левая часть по­след­не­го ра­вен­ства де­лит­ся на 9, а пра­вая не де­лит­ся. Зна­чит, такая си­ту­а­ция не­воз­мож­на.

в)  Пусть на доске были на­пи­са­ны дву­знач­ные числа Обо­зна­чим По усло­вию и нужно найти наи­боль­шее зна­че­ние числа Тогда

Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа A. По­сколь­ку по­лу­ча­ем По­это­му

сле­до­ва­тель­но, т. е. Зна­чит,

При­ведём при­мер, по­ка­зы­ва­ю­щий, что число S дей­стви­тель­но может быть рав­ным 759. Пусть пер­во­на­чаль­но на доске 8 раз было за­пи­са­но число 19 и один раз число 13. Тогда сумма этих чисел равна 165. После пе­ре­ста­нов­ки цифр на доске 8 раз ока­за­лось за­пи­са­но число 91 и один раз число 31. Сумма этих чисел равна 759.

Ответ: а) да; б) нет; в) 759.