На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 165. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел?
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Пусть первоначально на доске 7 раз было записано число 19 и один раз число 32. Тогда сумма этих чисел равна 165. После перестановки цифр на доске 7 раз оказалось записано число 91 и один раз число 23. Сумма этих чисел равна 660 = 4 · 165.
б) Пусть на доске были написаны двузначные числа 
Обозначим 
По условию, 
и 
Тогда разность этих чисел равна 
Но левая часть последнего равенства делится на 9, а правая не делится. Значит, такая ситуация невозможна.
в) Пусть на доске были написаны двузначные числа Обозначим По условию 
и нужно найти наибольшее значение числа 
Тогда
Таким образом, необходимо найти наименьшее возможное значение числа A. Поскольку 
получаем 
Поэтому
следовательно, 
т. е. 
Значит,
Приведём пример, показывающий, что число S действительно может быть равным 759. Пусть первоначально на доске 8 раз было записано число 19 и один раз число 13. Тогда сумма этих чисел равна 165. После перестановки цифр на доске 8 раз оказалось записано число 91 и один раз число 31. Сумма этих чисел равна 759.
Ответ: а) да; б) нет; в) 759.