Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n = 3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел.
а) Может ли сумма чисел на доске равняться 2728, если n = 4?
б) Может ли сумма чисел на доске равняться 83 347, если n = 5?
в) При n = 6 оказалось, что сумма чисел делится на 99. Сколько натуральных чисел от 925 111 до 925 999, которые Юра мог использовать в качестве исходного числа?
Покажем, как найти этот пример. Пусть 
— исходное число (черта сверху показывает, что это не произведение, а десятичная запись числа цифрами). Первая цифра суммы 
равна 2, поэтому a = b = 1. Последняя цифра суммы равна 8, поэтому d = 7. Тогда c = 5.
— исходное число. Тогда
— исходное число. Тогда
делится на 9, то есть если трёхзначное число 
даёт остаток 2 при делении на 9.
Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n = 3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел.
а) Может ли сумма чисел на доске равняться 2640, если n = 4?
б) Может ли сумма чисел на доске равняться 25 795, если n = 5?
в) При n = 6 оказалось, что сумма чисел делится на 33. Сколько натуральных чисел от 525 111 до 525 799, которые Юра мог выбрать в качестве исходного числа?
Покажем, как найти этот пример. Пусть 
— исходное число. Тогда
делится на 3, а значит, число 
или 
где r — остаток от деления числа a + b на 3. Таким образом, всего существует 
чисел.