Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n = 3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел.
а) Может ли сумма чисел на доске равняться 2640, если n = 4?
б) Может ли сумма чисел на доске равняться 25 795, если n = 5?
в) При n = 6 оказалось, что сумма чисел делится на 33. Сколько натуральных чисел от 525 111 до 525 799, которые Юра мог выбрать в качестве исходного числа?
а) Да, может: 
Покажем, как найти этот пример. Пусть 
— исходное число (черта сверху показывает, что это не произведение, а десятичная запись числа цифрами). Первая цифра суммы 
равна 2, поэтому a = b = 1. Последняя цифра суммы равна 0, поэтому d = 9. Тогда c = 4.
б) Нет, не может. Пусть 
— исходное число. Тогда
Это число не делится на 11, поэтому оно не может равняться 25 795.
в) Пусть 
— исходное число. Тогда
Это число делится на 33, только если число 
делится на 3, а значит, число 
делится на 3.
Цифру a можно выбрать произвольно из множества цифр от 1 до 7, цифру b — произвольно из множества от 1 до 9. При этом 
или 
где r — остаток от деления числа a + b на 3. Таким образом, всего существует 
чисел.
Ответ: а) да; б) нет; в) 189.