Ре­ше­ние. а)  До­ка­жем, что точка E лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тра­пе­ции ABCD. В самом деле, углы BEC и BDA равны как углы с со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми, а углы BDA и BDC равны как опи­ра­ю­щи­е­ся на рав­ные дуги. Сле­до­ва­тель­но, ∠BEC  =  ∠BDC, а по­то­му и точки B, E, D, C лежат на одной окруж­но­сти. Тогда углы BEA и BDA равны как опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу.

б)  По до­ка­зан­но­му ранее углы AEB, BDA, BDC равны, от­ку­да ∠A  =  ∠D  =  2∠AEB,

Пусть K   — точка пе­ре­се­че­ния AD и BE, тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABK по­лу­ча­ем и

Тра­пе­ция ABCD   — рав­но­бед­рен­ная, а BK   — её вы­со­та, по­это­му сред­няя линия тра­пе­ции равна Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 3072.

Ре­ше­ние. а)  До­ка­жем, что точка E лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около рав­но­бо­кой тра­пе­ции ABCD. В самом деле, ∠BEC = ∠BDA, как углы с со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. А ∠BDA = ∠BDC, как опи­ра­ю­щи­е­ся на рав­ные дуги. Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем, ∠BEC = ∠BDC и точки B, E, D, C лежат на одной окруж­но­сти. Тогда ∠BEA = ∠BDA, как опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу.

б)  По до­ка­зан­но­му ранее ∠AEB = ∠BDA = ∠BDC, от­ку­да ∠A = ∠D = 2∠AEB,

Пусть K   — точка пе­ре­се­че­ния AD и BE, тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABK по­лу­ча­ем и

Так как тра­пе­ция ABCD   — рав­но­бо­кая и BK   — её вы­со­та, сред­няя линия тра­пе­ции равна Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: