Упо­ря­до­чим числа по воз­рас­та­нию x₁ < x₂ < ... < x₃₀. За­ме­тим сразу, что до­ста­точ­но про­ве­рять усло­вие толь­ко для трех самых боль­ших и че­ты­рех самых ма­лень­ких чисел.

а)  В на­бо­ре 999, 1000, ..., 1028 вы­пол­не­но

б)  Если там есть число 66, то

по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

в)  Будем го­во­рить, что с на­бо­ром чисел можно сде­лать какую-то опе­ра­цию, если после ее вы­пол­не­ния усло­вие

не может на­ру­шить­ся, числа оста­нут­ся раз­ны­ми, а сумма чисел во всем на­бо­ре не ста­но­вит­ся боль­ше.

Если x₃₀ ≠ x₂₉ + 1, то можно за­ме­нить x₃₀ на x₂₉ + 1. Если после этого x₂₉ ≠ x₂₈ + 1, то можно за­ме­нить x₂₉ на x₂₈ + 1 и x₃₀ на x₂₈ + 2. Про­дол­жая эти дей­ствия (сдвиг боль­ших чисел вниз), мы в итоге по­лу­чим набор чисел, иду­щих под­ряд (даже все числа от x₂ до x₃₀ можно син­хрон­но умень­шать, по­сколь­ку обе части не­ра­вен­ства

будут умень­шать­ся оди­на­ко­во). Итак, оп­ти­маль­ный набор  — это числа x, x + 1, x + 2, ..., x + 29, при­чем 4x + 6 > 3x + 84, от­ку­да x > 78. Зна­чит, ми­ни­маль­ная сумма равна

а при­ме­ром могут слу­жить числа от 79 до 108.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  2805.

Упо­ря­до­чим числа по воз­рас­та­нию x₁ < x₂ < ... < x₄₀. За­ме­тим сразу, что до­ста­точ­но про­ве­рять усло­вие толь­ко для двух самых боль­ших и че­ты­рех самых ма­лень­ких чисел.

а), б) В на­бо­ре 33, 777, 778, ..., 815 вы­пол­не­но

в)  Будем го­во­рить, что с на­бо­ром чисел можно сде­лать какую-то опе­ра­цию, если после ее вы­пол­не­ния усло­вие

не может на­ру­шить­ся, числа оста­нут­ся раз­ны­ми, а сумма чисел во всем на­бо­ре не ста­но­вит­ся боль­ше. Если x₄₀ ≠ x₃₉ + 1, то можно за­ме­нить x₄₀ на x₃₉ + 1. Если после этого x₃₉ ≠ x₃₈ + 1, то можно за­ме­нить x₃₉ на x₃₈ + 1 и x₄₀ на x₃₈ + 2. Про­дол­жая эти дей­ствия (сдвиг боль­ших чисел вниз), мы в итоге по­лу­чим набор чисел, иду­щих под­ряд, кроме может быть пер­во­го (даже все числа от x₃ до x₄₀ можно син­хрон­но умень­шать, по­сколь­ку обе части не­ра­вен­ства

будут умень­шать­ся оди­на­ко­во). Далее можно уве­ли­чи­вать на 1 пер­вое число и умень­шать на 1 все осталь­ные. Так можно де­лать, если x₂ − x₁ > 2.

Итак, оп­ти­маль­ный набор  — это числа x, x + 1, x + 2, ..., x + 39 или x − 1, x + 1, x + 2, ..., x + 39, при­чем в пер­вом слу­чае 4x + 6 > 2x + 77, от­ку­да x ≥ 36, а во вто­ром 4x + 5 > 2x + 77, от­ку­да x ≥ 37. В на­бо­ре 36, 37, ..., 75 сумма оче­вид­но мень­ше, чем в на­бо­ре 36, 38, 39, ..., 76. Зна­чит, ми­ни­маль­ная сумма равна

а при­ме­ром могут слу­жить числа от 36 до 75.

Ответ: а) да; б) да; в) 2220.