а)  Для n  =  40 по­лу­ча­ем n!  =  1 · 2 · ... · 40  =  p · q, где число p  — это про­из­ве­де­ние всех крат­ных 5 на­ту­раль­ных чисел от 1 до 40, где q  — это про­из­ве­де­ние всех не крат­ных 5 чисел от 1 до 40. Тогда число

де­лит­ся на 5⁹, но не де­лит­ся на 5¹⁰, а число q де­лит­ся на 16 · 32 · 2⁹, но не де­лит­ся на 5. Зна­чит, число n! де­лит­ся на 10⁹, но не де­лит­ся на 10¹⁰, и, сле­до­ва­тель­но, его де­ся­тич­ная за­пись окан­чи­ва­ет­ся ровно 9 ну­ля­ми.

б)  Для n  =  99 по­лу­ча­ем n!  =  1 · 2 · ... · 99  =  p · q, где число p  — это про­из­ве­де­ние всех крат­ных 5 на­ту­раль­ных чисел от 1 до 99, где q  — это про­из­ве­де­ние всех не крат­ных 5 чисел от 1 до 99. Тогда число

где число r не де­лит­ся на 5. Сле­до­ва­тель­но, число p де­лит­ся на 5²², но не де­лит­ся на 5²³. При этом число q де­лит­ся на 4 · 16 · 32 · 64 · 96  =  2²² · 3, но не де­лит­ся на 5. Зна­чит, число n! де­лит­ся на 10²², но не де­лит­ся на 10²³, и, сле­до­ва­тель­но, его де­ся­тич­ная за­пись окан­чи­ва­ет­ся ровно 22 ну­ля­ми. По­это­му де­ся­тич­ная за­пись числа n! при не может окан­чи­вать­ся ровно 23 ну­ля­ми, а при число де­лит­ся на 100!  =  99! · 100 и, сле­до­ва­тель­но, де­ся­тич­ная за­пись числа n! окан­чи­ва­ет­ся более чем 23 ну­ля­ми. Сле­до­ва­тель­но, таких чисел не бы­ва­ет.

в)  Для каж­до­го дей­стви­тель­но­го числа x обо­зна­ча­ем [x] наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее x. Тогда для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа m и лю­бо­го про­сто­го числа p среди чисел 1, 2, m найдётся ровно чисел, крат­ных p, и чисел, крат­ных p². По­сколь­ку при ни одно из чисел 1,2, m не крат­но 125  =  5³, то по­лу­ча­ем, что число m!  =  1 · 2 · ... · m де­лит­ся на и на но не де­лит­ся на Для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n, мень­ше­го 100, по­лу­ча­ем:

а зна­чит, для каж­до­го та­ко­го n де­ся­тич­ная за­пись числа n! · (100 − n)! окан­чи­ва­ет­ся ровно

ну­ля­ми.

Число равно 20 при n, крат­ных 5, и равно 19 при n, не крат­ных 5.

Число равно 4 при n, крат­ных 25, и равно 3 при n, не крат­ных 25.

Зна­чит, для числа по­лу­чи­ли:

− k  =  24 при n, крат­ных 25,

− k  =  23 при n, крат­ных 5, но не крат­ных 25,

− k  =  22 при n, не крат­ных 5.

Сле­до­ва­тель­но, на­ту­раль­ное число n, мень­ше 100, будет ис­ко­мым тогда и толь­ко тогда, когда оно крат­но 5, но не крат­но 25. Зна­чит, су­ще­ству­ет ровно 16 ис­ко­мых на­ту­раль­ных чисел.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  16.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Рас­кла­ды­вая все числа от 1 до n на про­стые мно­жи­те­ли и объ­еди­няя затем мно­жи­те­ли 2 и 5 в пары, мы будем по­лу­чать мно­жи­те­ли 10, ко­то­рые про­сто при­бав­ля­ют 0 на конце числа. Когда мно­жи­те­ли 2 или 5 (на самом деле все­гда 5) за­кон­чат­ся, остав­ше­е­ся число не будет кон­чать­ся на 0, по­это­му ко­ли­че­ство нулей равно либо сум­мар­но­му ко­ли­че­ству пя­те­рок, либо сум­мар­но­му ко­ли­че­ству двоек в раз­ло­же­нии всех чисел от 1 до n на про­стые мно­жи­те­ли.

а)  Пусть n  =  40. Есть ровно 8 чисел крат­ных 5 от 1 до 40, при этом одно (25) со­дер­жит сразу две пя­тер­ки. Ясно, что 9 двоек на­бе­рет­ся (там есть 20 чет­ных чисел, да­ю­щих ми­ни­мум по одной двой­ке).

б)  Среди чисел 1, 2, ..., 99 есть 19 крат­ных 5, из них 25, 50, 75 крат­ны 5². Зна­чит, 99! окан­чи­ва­ет­ся на (19 − 3) + 3 2  =  22 нуля. При этом 100!  =  99! · 100 ока­чи­ва­ет­ся на 24 нуля. Ясно, что при n < 99 число нулей будет не более 22, а при n > 100  — не менее 24.

в)  Среди чисел от 1 до n ровно крат­ны 5 и ровно крат­ны 25, по­это­му сте­пень пя­тер­ки в n! равна

(здесь ис­поль­зу­ет­ся, что n ≤ 100, то есть числа, крат­ные 5³, 5⁴, ..., от­сут­ству­ют). Тогда в за­пи­си n! · (100 − n)! ровно

нулей. За­ме­тим, что при целом k [α] + [k − α]  =  k при целом α и [α] + [k − α]  =  k − 1 при не­це­лом α, по­это­му или 20 и или 4. Нас ин­те­ре­су­ет ва­ри­ант 20 + 3 (ва­ри­ант 19 + 4 озна­чал бы, что n не крат­но 5, но крат­но 25, что не­воз­мож­но). Зна­чит, n крат­но 5, но не 25. Таких чисел 16.

От­ме­тим, что одно из чисел n или 100 − n не мень­ше 50, по­это­му его фак­то­ри­ал со­дер­жит не менее 25 чет­ных мно­жи­те­лей, так что двоек на все эти пя­тер­ки хва­тит.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  16.

Рас­кла­ды­вая все числа от 1 до n на про­стые мно­жи­те­ли и объ­еди­няя затем мно­жи­те­ли 2 и 5 в пары, мы будем по­лу­чать мно­жи­те­ли 10, ко­то­рые про­сто при­бав­ля­ют 0 на конце числа. Когда мно­жи­те­ли 2 или 5 (на самом деле все­гда 5) за­кон­чат­ся, остав­ше­е­ся число не будет кон­чать­ся на 0, по­это­му ко­ли­че­ство нулей равно либо сум­мар­но­му ко­ли­че­ству пя­те­рок, либо сум­мар­но­му ко­ли­че­ству двоек в раз­ло­же­нии всех чисел от 1 до n на про­стые мно­жи­те­ли.

а)  Пусть n  =  45. Есть ровно 9 чисел крат­ных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) со­дер­жит сразу две пя­тер­ки. Ясно, что 10 двоек на­бе­рет­ся (там есть 22 чет­ных числа, да­ю­щих ми­ни­мум по одной двой­ке).

б)  Среди чисел 1, 2, ..., 74 есть 14 крат­ных 5, из них 25, 50 крат­ны 5². Зна­чит, 74! окан­чи­ва­ет­ся на (14 − 2) + 2 · 2  =  16 нулей. При этом 75!  =  74! · 75 ока­чи­ва­ет­ся на 18 нулей. Ясно, что при n < 74 число нулей будет не более 16, а при n > 75  — не менее 18.

в)  Среди чисел от 1 до n ровно крат­ны 5 и ровно крат­ны 25, по­это­му сте­пень пя­тер­ки в n! равна (здесь ис­поль­зу­ет­ся, что n ≤ 75, то есть числа, крат­ные 5³, 5⁴, ..., от­сут­ству­ют). Тогда в за­пи­си n! · (75 − n)! ровно

нулей. За­ме­тим, что при целом k [α] + [k − α]  =  k при целом α и [α] + [k − α]  =  k − 1 при не­це­лом α, по­это­му или 14 и или 2. Нас ин­те­ре­су­ет ва­ри­ант 15 + 2 (ва­ри­ант 14 + 3 озна­чал бы, что n не крат­но 5, но крат­но 25, что не­воз­мож­но). Зна­чит, n крат­но 5, но не 25. Таких чисел 12.

От­ме­тим, что одно из чисел n или 100 − n не мень­ше 38, по­это­му его фак­то­ри­ал со­дер­жит не менее 19 чет­ных мно­жи­те­лей, так что двоек на все эти пя­тер­ки хва­тит.

Ответ: а) да; б) нет; в) 12.