а)  Пусть KP  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка MKN. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KOP и KPF на­хо­дим, что

От­ре­зок PF длин­нее ра­ди­у­са окруж­но­сти. Зна­чит, точки F и P лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки O. Тогда

По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии от­рез­ков пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд по­лу­ча­ем, что

от­ку­да на­хо­дим, что

б)  Для на­хож­де­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка KEN вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой

Имеем

Из тре­уголь­ни­ка KOP на­хо­дим, что

Так как

по­лу­ча­ем, что

Из тре­уголь­ни­ка EFN по­лу­ча­ем, что

Тогда

Ответ: б) 267,96.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ирины Шраго.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка FKN:

От­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков FKN и FNE равно от­но­ше­нию их ос­но­ва­ний, сле­до­ва­тель­но,

Тогда

а)  Пусть KP  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка MKN. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KOP и KPF на­хо­дим, что

Сумма длин от­рез­ков OP и PF боль­ше, чем ра­ди­ус окруж­но­сти. Зна­чит, точки F и P лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки O. Тогда

По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии от­рез­ков пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд по­лу­ча­ем, что

от­ку­да на­хо­дим, что

б)  Для на­хож­де­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка KEN вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой

Имеем

Из тре­уголь­ни­ка KOP на­хо­дим, что

Так как

по­лу­ча­ем, что

Из тре­уголь­ни­ка EFN по­лу­ча­ем, что

Тогда

Ответ: б) 171,36.