Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 561773
i

На окруж­но­сти с цен­тром O и диа­мет­ром MN, рав­ным 26, взята точка K на рас­сто­я­нии 12 от этого диа­мет­ра. Хорда KE пе­ре­се­ка­ет ра­ди­ус OM в точке F под углом, рав­ным арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

а)  До­ка­жи­те, что KF : FE  =  25 : 17.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KEN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть KP  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка MKN. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KOP и KPF на­хо­дим, что

OP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: OK в квад­ра­те минус KP в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =5,

KF= дробь: чис­ли­тель: KP, зна­ме­на­тель: синус \angle KFN конец дроби =15,

PF=KF умно­жить на ко­си­нус \angle KFN=9.

Сумма длин от­рез­ков OP и PF боль­ше, чем ра­ди­ус окруж­но­сти. Зна­чит, точки F и P лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки O. Тогда

NF=NO плюс OF=17,

FM=MN минус NF=9.

По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии от­рез­ков пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд по­лу­ча­ем, что

KF умно­жить на FE=NF умно­жить на FM,

от­ку­да на­хо­дим, что

FE= дробь: чис­ли­тель: NF умно­жить на FM, зна­ме­на­тель: KF конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17 умно­жить на 9, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 51, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: KF, зна­ме­на­тель: FE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби .

б)  Для на­хож­де­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка KEN вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой

S_KEN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на KE умно­жить на EN умно­жить на синус \angle KEN.

Имеем

KE=KF плюс FE=25,2.

Из тре­уголь­ни­ка KOP на­хо­дим, что

ко­си­нус \angle KOP= дробь: чис­ли­тель: OP, зна­ме­на­тель: OK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Так как

\angle KEN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle KON= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle KOP,

по­лу­ча­ем, что

синус \angle KEN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус \angle KOP, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Из тре­уголь­ни­ка EFN по­лу­ча­ем, что

EN в квад­ра­те =EF в квад­ра­те плюс FN в квад­ра­те минус 2 умно­жить на EF умно­жить на FN умно­жить на ко­си­нус \angle EFN рав­но­силь­но EN в квад­ра­те =601,12 рав­но­силь­но EN=6,8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

Тогда

S_KEN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 25,2 умно­жить на 6,8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби =171,36.

Ответ: б) 171,36.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 561732: 561773 Все

Методы геометрии: Свой­ства хорд, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025