а)  На­при­мер, под­хо­дит по­сле­до­ва­тель­ность 2, 4, 5, 5, 4.

б)  При всех на­ту­раль­ных по­ло­жим Тогда ра­вен­ство рав­но­силь­но ра­вен­ству Сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность b_k при об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью −1.

Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число встре­ти­лось в по­сле­до­ва­тель­но­сти a_k три раза. Зна­чит, для не­ко­то­рых ин­дек­сов вы­пол­не­ны ра­вен­ства По­это­му вы­пол­не­ны ра­вен­ства

и, сле­до­ва­тель­но, ра­вен­ство Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию, так как

в)  Как до­ка­за­но в ре­ше­нии пунк­та б, по­сле­до­ва­тель­ность при об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью −1. Пред­по­ло­жим, что и все числа a_k дву­знач­ные. Тогда либо либо

Если то при имеем и

Если то при имеем (по­сколь­ку ) и

По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что

При­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти при по­ка­зы­ва­ет, что n может рав­нять­ся 26. Дей­стви­тель­но, тогда по­сле­до­ва­тель­ность при об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью −1. Зна­чит, при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­ны ра­вен­ства и Кроме того, при вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства и, сле­до­ва­тель­но, все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти a_k яв­ля­ют­ся дву­знач­ны­ми чис­ла­ми.

Ответ: а)  на­при­мер, под­хо­дит по­сле­до­ва­тель­ность 2, 4, 5, 5, 4; б)  нет; в)  при

а)  На­при­мер, под­хо­дит по­сле­до­ва­тель­ность 1, 6, 9, 10, 9.

б)  При всех на­ту­раль­ных по­ло­жим Тогда ра­вен­ство рав­но­силь­но ра­вен­ству Сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность b_k при об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью −2.

Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число встре­ти­лось в по­сле­до­ва­тель­но­сти a_k три раза. Зна­чит, для не­ко­то­рых ин­дек­сов вы­пол­не­ны ра­вен­ства По­это­му вы­пол­не­ны ра­вен­ства

и, сле­до­ва­тель­но, ра­вен­ство Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию, так как

в)  Как до­ка­за­но в ре­ше­нии пунк­та б, по­сле­до­ва­тель­ность при об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью −2. Пред­по­ло­жим, что и все числа a_k дву­знач­ные. Тогда либо либо

Если то при имеем и

Если то при имеем и

По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие по­ка­зы­ва­ет, что

При­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти

(со­сто­я­щей из 19 чле­нов) по­ка­зы­ва­ет, что n может рав­нять­ся 19.

Дей­стви­тель­но, тогда по­сле­до­ва­тель­ность при имеет вид 17, 15, 13, ..., 1, −1, ..., −15, −17 и об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью −2. Зна­чит, при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­ны ра­вен­ства и Кроме того, при вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства и, сле­до­ва­тель­но, все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти a_k яв­ля­ют­ся дву­знач­ны­ми чис­ла­ми.

Ответ: а) На­при­мер, под­хо­дит по­сле­до­ва­тель­ность 1, 6, 9, 10, 9; б) нет; в) при