Конечная последовательность 
состоит из 
не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных 
выполнено равенство 
а) Приведите пример такой последовательности при n = 5, в которой a5 = 9.
б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?
в) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из двузначных чисел?
а) Например, подходит последовательность 1, 6, 9, 10, 9.
б) При всех натуральных 
положим 
Тогда равенство 
равносильно равенству 
Следовательно, последовательность bk при 
образует арифметическую прогрессию с разностью −2.
Предположим, что некоторое натуральное число встретилось в последовательности ak три раза. Значит, для некоторых индексов 
выполнены равенства 
Поэтому выполнены равенства
и, следовательно, равенство 
Аналогично получаем 
Приходим к противоречию, так как 
в) Как доказано в решении пункта б, последовательность 
при образует арифметическую прогрессию с разностью −2. Предположим, что 
и все числа ak двузначные. Тогда либо 
либо 
Если то при 
имеем 
и
Если 
то при 
имеем 
и
Полученное противоречие показывает, что 
Пример последовательности
(состоящей из 19 членов) показывает, что n может равняться 19.
Действительно, тогда последовательность при 
имеет вид 17, 15, 13, ..., 1, −1, ..., −15, −17 и образует арифметическую прогрессию с разностью −2. Значит, при всех натуральных выполнены равенства 
и Кроме того, при 
выполнены неравенства 
и, следовательно, все члены последовательности ak являются двузначными числами.
Ответ: а) Например, подходит последовательность 1, 6, 9, 10, 9; б) нет; в) при 