а)  Под­хо­дя­щим при­ме­ром яв­ля­ют­ся числа 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65.

б)  Если среди де­ся­ти раз­лич­ных дву­знач­ных чисел ровно 7 де­лят­ся на 3 и ровно 7 де­лят­ся на 5, то среди них не менее четырёх, ко­то­рые де­лят­ся на Если, кроме того, среди этих де­ся­ти чисел есть ровно 7, ко­то­рые де­лят­ся на 7, то среди них найдётся хотя бы одно число, ко­то­рое де­лит­ся на Но та­ко­го дву­знач­но­го числа не су­ще­ству­ет. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Дву­знач­ные числа, де­ля­щи­е­ся на 7, можно пред­ста­вить в виде 7p_i, где p_i  — на­ту­раль­ное число от 2 (по­сколь­ку 7 · 2  =  14) до 14 (по­сколь­ку 7 · 14  =  98). Для любой пары таких чисел p_i долж­ны быть вза­им­но про­сты­ми, по­сколь­ку иначе наи­боль­ший общий де­ли­тель таких чисел будет боль­ше 7. Среди чисел от 2 до 14 можно вы­брать толь­ко 6 чисел, таких, что любые два из них будут вза­им­но про­сты­ми, это числа 2, 3, 5, 7, 11, 13. Таким об­ра­зом, при за­дан­ных усло­ви­ях чисел, де­ля­щих­ся на 7, не может быть боль­ше шести. По­ка­жем, что их может быть ровно шесть. Это, на­при­мер, сле­ду­ю­щий набор из де­ся­ти чисел: 14, 21, 35, 49, 77, 91, 17, 19, 23, 41. В этом на­бо­ре наи­боль­ший общий де­ли­тель для пер­вых шести чисел равен 7, а наи­боль­ший общий де­ли­тель лю­бо­го из по­след­них чисел с любым дру­гим чис­лом на­бо­ра равен 1.

Ответ: а)  на­при­мер, 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65; б)  нет; в)  6.

а)  Под­хо­дя­щим при­ме­ром яв­ля­ют­ся числа 15, 21, 30, 35, 42, 45, 50, 56, 77, 79.

б)  Если среди де­ся­ти раз­лич­ных дву­знач­ных чисел ровно 6 де­лят­ся на 3 и ровно 7 де­лят­ся на 5, то среди них не менее трёх, ко­то­рые де­лят­ся на 3 · 5  =  15. Если, кроме того, среди этих де­ся­ти чисел есть ровно 8, ко­то­рые де­лят­ся на 7, то среди них найдётся хотя бы одно число, ко­то­рое де­лит­ся на 3 · 5 · 7  =  105. Но та­ко­го дву­знач­но­го числа не су­ще­ству­ет. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Всего су­ще­ству­ет 18 дву­знач­ных чисел, ко­то­рые де­лят­ся на 5. Рас­смот­рим такие во­семь на­бо­ров чисел, со­став­лен­ные из них: все 9 чисел, ко­то­рые де­лят­ся на 10; все 6 чисел, ко­то­рые де­лят­ся на 15; все три числа, ко­то­рые де­лят­ся на 25; два числа, ко­то­рые де­лят­ся на 35; набор из од­но­го числа 55; набор из од­но­го числа 65, набор из од­но­го числа 85 и набор из од­но­го числа 95. Каж­дое из де­ля­щих­ся на 5 дву­знач­ных чисел вхо­дит по край­ней мере в один набор. Кроме того, среди дан­ных де­ся­ти дву­знач­ных чисел может быть не более од­но­го числа из каж­до­го та­ко­го на­бо­ра, так как иначе наи­боль­ший общий де­ли­тель каких-ни­будь двух из них был бы боль­ше 7.

Зна­чит, среди дан­ных де­ся­ти дву­знач­ных чисел не более вось­ми де­лят­ся на 5. При­мер чисел 10, 15, 25, 35, 55, 65, 85, 95, 23, 31 по­ка­зы­ва­ет, что их может быть ровно во­семь. Дей­стви­тель­но, наи­боль­ший общий де­ли­тель любых двух среди пер­вых вось­ми из этих чисел равен 5, а наи­боль­ший общий де­ли­тель лю­бо­го из по­след­них двух из этих чисел с любым дру­гим чис­лом этого на­бо­ра равен 1.

Ответ: а) На­при­мер, 15, 21, 30, 35, 42, 45, 50, 56, 77, 79, б) нет, в) 8.