а)  За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки BMN и NKA по­доб­ны по со­от­но­ше­нию двух сто­рон и ра­вен­ству углов, за­клю­чен­ных между этими сто­ро­на­ми. Тогда сле­до­ва­тель­но, пря­мая BM па­рал­лель­на пря­мой AN.

б)  Диа­го­на­ли квад­ра­та пер­пен­ди­ку­ляр­ны, равны и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, по­это­му и Из точек A и O от­ре­зок KN виден под пря­мым углом, зна­чит, эти точки лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром KN. Впи­сан­ные в эту окруж­ность углы KAO и NAO опи­ра­ют­ся на рав­ные хорды, по­это­му AO  — бис­сек­три­са угла KAN.

Пусть от­ре­зок AP пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну KN в точке Q. Тогда AQ  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка KAN. По свой­ству бис­сек­три­сы

Тре­уголь­ник LOP равен тре­уголь­ни­ку NOQ по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам, зна­чит, Тогда Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 1 : 2.

а)  По­сколь­ку то и пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BMN и NKA по­доб­ны по двум про­пор­ци­о­наль­ным ка­те­там. Зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, пря­мая BM па­рал­лель­на пря­мой AN.

б)  Диа­го­на­ли квад­ра­та пер­пен­ди­ку­ляр­ны, равны и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, по­это­му и Из точек A и O от­ре­зок KN виден под пря­мым углом, зна­чит, эти точки лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром KN. Впи­сан­ные в эту окруж­ность углы KAO и NAO опи­ра­ют­ся на рав­ные хорды, по­это­му AO  — бис­сек­три­са угла KAN.

Пусть от­ре­зок AP пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну KN в точке Q. Тогда AQ  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка KAN. По свой­ству бис­сек­три­сы

Тре­уголь­ник LOP равен тре­уголь­ни­ку NOQ по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам, зна­чит, Тогда Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 1 : 3.