Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN.
а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.
б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.
а) Заметим, что 
следовательно, треугольники BMN и NKA подобны по соотношению двух сторон и равенству углов, заключенных между этими сторонами. Тогда 
следовательно, прямая BM параллельна прямой AN.
б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому 
и 
Из точек
Пусть отрезок AP пересекает сторону KN в точке Q. Тогда AQ — биссектриса треугольника KAN. По свойству биссектрисы
Треугольник LOP равен треугольнику NOQ по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, 
Тогда 
Следовательно,
Ответ: б) 1 : 2.