Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Первое уравнение задаёт объединение круга 
и точки 
Единственное решение будет тогда и только тогда, когда прямая 
касается круга, но не проходит через точку M, или проходит через точку M, но не имеет общих точек с кругом. Составим систему:
Чтобы найти значения a, при которых прямая касается круга, приравняем дискриминант уравнения к нулю:
Через точку M прямая проходит, только если 
то есть 
Следовательно, 
и 
удовлетворяют условию задачи.
Теперь пусть прямая 
проходит через точку M. Проверим, пересекает ли она круг. Достаточно найти знак дискриминанта D при 
:
Следовательно, прямая имеет с кругом общие точки. В этом случае данная система имеет бесконечно много решений.
Ответ: 0,25 или −4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Первое уравнение задаёт объединение круга 
и точки 
Единственное решение будет тогда и только тогда, когда прямая 
касается круга, но не проходит через точку M, или проходит через точку M, но не имеет общих точек с кругом. Составим систему:
Чтобы найти значения a, при которых прямая касается круга, приравняем дискриминант уравнения к нулю:
Через точку M прямая проходит, только если 
то есть 
Следовательно, и удовлетворяют условию задачи.
Теперь пусть прямая 
проходит через точку M. Проверим, пересекает ли она круг. Достаточно найти знак дискриминанта D при 
:
Следовательно, прямая имеет с кругом общие точки. В этом случае данная система имеет бесконечно много решений.
Ответ: 0,25 или −4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх