Найдите значения a, при каждом из которых линии 
и 
ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.
Параллельным переносом на две единицы вправо получим линии
и 
Вид фигур и их площадь при сдвигах не меняется.
Случай 1. При a = 0 получаем уравнения горизонтальных прямых 
и 
Эти линии не ограничивают никакой многоугольник.
Случай 2. Пусть a > 0, получаем уравнения
и
Линии, заданные этими формулами, ограничивают треугольник, тогда и только тогда, когда вершина графика модуля лежит ниже горизонтальной прямой (см. рис. 1). Вершина имеет координаты 
поэтому должно выполняться неравенство 
откуда a < 4. Одна из сторон этого треугольника параллельна оси абсцисс. Чтобы найти ее длину, определим абсциссы точек пересечения линий:
Обозначим длину стороны b, а длину проведенной к ней высоты — h. Тогда:
Найдем площадь треугольника:
Требуется, чтобы 
откуда находим:
C учетом условия 0 < a < 4, получаем: 
Случай 3. Пусть a < 0. Получаем уравнения
и
Эти линии ограничивают треугольник, если вершина графика модуля лежит над горизонтальной прямой, то есть тогда и только тогда, когда 
откуда 
(см. рис. 2). Абсциссы точек пересечения линий найдем из уравнения 
получим:
Площадь полученного в этом случае треугольника равна:
Неравенство 
записывается в виде
C учетом условия имеем 
Объединяя полученные результаты, находим: 
или
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной. | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
или Найдите все значения a, при каждом из которых линии 
и 
ограничивают многоугольник, площадь которого не менее 
Параллельным переносом на три единицы вправо получим линии
и 
Вид фигур и их площадь при сдвигах не меняется.
Случай 1. При a = 0 получаем уравнения горизонтальных прямых 
и Эти линии не ограничивают никакой многоугольник.
Случай 2. Пусть a > 0, получаем уравнения
и
Линии, заданные этими формулами, ограничивают треугольник, тогда и только тогда, когда вершина графика модуля лежит ниже горизонтальной прямой (см. рис. 1). Вершина имеет координаты 
поэтому должно выполняться неравенство 
откуда a < 4,5. Одна из сторон этого треугольника параллельна оси абсцисс. Чтобы найти ее длину, определим абсциссы точек пересечения линий:
Обозначим длину стороны b, а длину проведенной к ней высоты — h. Тогда:
Найдем площадь треугольника:
Требуется, чтобы 
откуда находим:
C учетом условия 0 < a < 4,5 получаем: 
Случай 3. Пусть a < 0. Получаем уравнения
и
Эти линии ограничивают треугольник, если вершина графика модуля лежит над горизонтальной прямой, то есть тогда и только тогда, когда 
откуда 
(см. рис. 2). Абсциссы точек пересечения линий найдем из уравнения 
получим:
Площадь полученного в этом случае треугольника равна:
Неравенство 
записывается в виде
C учетом условия 
имеем 
Объединяя полученные результаты, находим: 
или
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх