ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 530460 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра

Задача с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции

$y= дробь: числитель: 5a плюс 150x минус 10ax, знаменатель: 100x в квадрате плюс 20ax плюс a в квадрате плюс 25 конец дроби$

содержит отрезок [0; 1].

Решение.

Запишем функцию в виде $y= дробь: числитель: 5a плюс 10 левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка 10x плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби .$ Если при некоторых значениях а существуют такие числа x₀, x₁, что выполняются равенства $0= дробь: числитель: 5a плюс 10 левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x_0, знаменатель: левая круглая скобка 10x_0 плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби$ и $1= дробь: числитель: 5a плюс 10 левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x_1, знаменатель: левая круглая скобка 10x_1 плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби ,$ то отрезок [0; 1] будет принадлежать множеству значений данной функции.

Первое уравнение:

$0= дробь: числитель: 5a плюс 10 левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка 10x плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби равносильно 10 левая круглая скобка a минус 15 правая круглая скобка x=5a.$

Уравнение имеет решение при любом $a не равно 15.$

Второе уравнение:

$1= дробь: числитель: 5a плюс 10 левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка 10x плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби равносильно 100x в квадрате плюс 30 левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка x плюс a в квадрате минус 5a плюс 25=0.$

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

$D=900 левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате минус 400 левая круглая скобка a в квадрате минус 5a плюс 25 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно 500 левая круглая скобка a в квадрате минус 14a плюс 25 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка a минус 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка \geqslant0.$

Решением этого неравенства является множество $левая круглая скобка минус бесконечность ;7 минус 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая квадратная скобка ,$ $левая квадратная скобка 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только все значения

$a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;7 минус 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ;15 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 15; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;7 минус 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ;15 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 15; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4.	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 530460: 530562 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 530562 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра

Задача с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции

$y= дробь: числитель: 5a минус 15x плюс ax, знаменатель: x в квадрате минус 2ax плюс a в квадрате плюс 25 конец дроби$

содержит отрезок [0; 1].

Решение.

Запишем функцию в виде $y= дробь: числитель: 5a минус левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби .$ Если при некоторых значениях а существуют такие числа x₀, x₁, что выполняются равенства $0= дробь: числитель: 5a минус левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x_0, знаменатель: левая круглая скобка x_0 минус a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби$ и $1= дробь: числитель: 5a минус левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x_1, знаменатель: левая круглая скобка x_1 минус a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби ,$ то отрезок [0; 1] будет принадлежать множеству значений данной функции.

Первое уравнение:

$0= дробь: числитель: 5a минус левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби равносильно левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x=5a.$

Уравнение имеет решение при любом $a не равно 15.$

Второе уравнение:

$1= дробь: числитель: 5a минус левая круглая скобка 15 минус a правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс 25 конец дроби равносильно x в квадрате плюс 3 левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка x плюс a в квадрате минус 5a плюс 25=0.$

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

$D=9 левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате минус 5a плюс 25 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 14a плюс 25 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только все значения

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4.	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 530460: 530562 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе