а)  Пусть L  — се­ре­ди­на ребра AB, E  — се­ре­ди­на ребра AС. Тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, по­это­му от­ре­зок BE пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AС. По­сколь­ку AM : MC  =  1 : 3, имеем AM  =  ME. Зна­чит, тре­уголь­ник AML по­до­бен тре­уголь­ни­ку AEB. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок LM пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AС. По­сколь­ку от­ре­зок KL пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABC, по­лу­ча­ем, что от­ре­зок AC пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти KLM, а зна­чит, KM пер­пен­ди­ку­ляр­но AC.

б)  От­ре­зок KL пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABC и от­ре­зок KM пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AC, по­это­му ис­ко­мый угол равен углу LMK. Имеем KL  =  AA₁  =  6,

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

а)  Пусть L  — се­ре­ди­на ребра AB, E  — се­ре­ди­на ребра AС. Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, от­ре­зок BE пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AС. По­сколь­ку AM:MC  =  1:3, имеем AM  =  ME. Зна­чит, тре­уголь­ник AML по­до­бен тре­уголь­ни­ку AEB. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок LM пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AС. По­сколь­ку от­ре­зок KL пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABC, по­лу­ча­ем, что от­ре­зок AC пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти KLM, а зна­чит, KM пер­пен­ди­ку­ляр­но AC.

б)  Пусть MH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AML. Так как плос­ко­сти ABC и ABB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, от­ре­зок MH пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABB₁, и по­это­му ис­ко­мый угол равен углу HKM. Вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка AML, по­лу­чим: от­ку­да

По­это­му

Ответ: б)