Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 526599
i

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AC. Точка K  — се­ре­ди­на ребра A1B1, а точка M делит ребро AC в от­но­ше­нии AM:MC  =  1:3.

а)  До­ка­жи­те, что KM пер­пен­ди­ку­ляр­но AC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ABB1, если AB  =  6, AC  =  8 и AA1  =  3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть L  — се­ре­ди­на ребра AB, E  — се­ре­ди­на ребра AС. Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, от­ре­зок BE пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AС. По­сколь­ку AM:MC  =  1:3, имеем AM  =  ME. Зна­чит, тре­уголь­ник AML по­до­бен тре­уголь­ни­ку AEB. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок LM пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AС. По­сколь­ку от­ре­зок KL пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABC, по­лу­ча­ем, что от­ре­зок AC пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти KLM, а зна­чит, KM пер­пен­ди­ку­ляр­но AC.

б)  Пусть MH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AML. Так как плос­ко­сти ABC и ABB1 пер­пен­ди­ку­ляр­ны, от­ре­зок MH пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABB1, и по­это­му ис­ко­мый угол равен углу HKM. Вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка AML, по­лу­чим: 2S_AML=MH умно­жить на AL=MA умно­жить на ML, от­ку­да

MH= дробь: чис­ли­тель: MA умно­жить на ML, зна­ме­на­тель: AL конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 в квад­ра­те минус 2 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

По­это­му

синус \angle HKM = дробь: чис­ли­тель: HM, зна­ме­на­тель: KM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: HM, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 в квад­ра­те плюс ко­рень из 5 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

Ответ: б) арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 526591: 526599 Все

Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Пря­мая тре­уголь­ная приз­ма, Угол между пря­мой и плос­ко­стью
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026