а)  Да. На­при­мер,

б)  Рас­смот­рим какую-либо воз­мож­ную рас­ста­нов­ку зна­ков в зна­ме­на­те­ле 1*4*8*12*16 дан­ной дроби. Имеем где знаки + и − рас­став­ле­ны со­от­вет­ству­ю­щим об­ра­зом. Сумма всех чисел в по­след­них скоб­ках чётна и может при­ни­мать зна­че­ния вида 2m, где m  — не­ко­то­рое целое число от −5 до 5. Зна­чит, зна­ме­на­тель дроби равен Среди всех воз­мож­ных зна­че­ний m зна­ме­на­тель де­лит­ся на 7 лишь при Сле­до­ва­тель­но, если знаки рас­став­ле­ны так, что дан­ная дробь равна то её зна­ме­на­тель 1*4*8*12*16 равен −7. Тогда её чис­ли­тель 1*3*6*9*12 равен −4. При­шли к про­ти­во­ре­чию, по­сколь­ку число все­гда при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 1, а число −4  — оста­ток 2. Зна­чит, рас­ста­вить знаки тре­бу­е­мым об­ра­зом не­воз­мож­но.

в)  Ана­ло­гич­но до­ка­зан­но­му в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что при все­воз­мож­ных рас­ста­нов­ках зна­ков + и − вы­ра­же­ние при­мет вид где k и m про­бе­га­ют все целые числа от −5 до 5. По­сколь­ку по­лу­ча­ем При фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии m это вы­ра­же­ние ми­ни­маль­но при В этом слу­чае оно равно По­сколь­ку m про­бе­га­ет все целые числа от −5 до 5, мак­си­мум мо­ду­ля до­сти­га­ет­ся при Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние, ко­то­рое может при­ни­мать вы­ра­же­ние если все­воз­мож­ны­ми спо­со­ба­ми за­ме­нять каж­дый из зна­ков * на + или −, равно Оно до­сти­га­ет­ся при   — в слу­чае, когда каж­дый из зна­ков * заменён на +.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  

а)  Да. На­при­мер,

б)  Рас­смот­рим какую-либо воз­мож­ную рас­ста­нов­ку зна­ков в зна­ме­на­те­ле 1*5*10*15*20 дан­ной дроби. Имеем где знаки + и − рас­став­ле­ны со­от­вет­ству­ю­щим об­ра­зом. Сумма всех чисел в по­след­них скоб­ках чётна и может при­ни­мать зна­че­ния вида 2m, где m  — не­ко­то­рое целое число от −5 до 5. Зна­чит, зна­ме­на­тель дроби равен Среди всех воз­мож­ных зна­че­ний m зна­ме­на­тель де­лит­ся на 9 лишь при Сле­до­ва­тель­но, если знаки рас­став­ле­ны так, что дан­ная дробь равна то её зна­ме­на­тель 1*5*10*15*20 равен −9. Тогда её чис­ли­тель 1*4*8*12*16 равен −4. При­шли к про­ти­во­ре­чию, так как число все­гда при де­ле­нии на 4 даёт оста­ток 1, а число −4  — оста­ток 0. Зна­чит, рас­ста­вить знаки тре­бу­е­мым об­ра­зом не­воз­мож­но.

в)  Ана­ло­гич­но до­ка­зан­но­му в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что при все­воз­мож­ных рас­ста­нов­ках зна­ков + и − вы­ра­же­ние при­мет вид где k и m про­бе­га­ют все целые числа от −5 до 5. По­сколь­ку по­лу­ча­ем При фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии m это вы­ра­же­ние ми­ни­маль­но при В этом слу­чае оно равно Так как m про­бе­га­ет все целые числа от −5 до 5, мак­си­мум мо­ду­ля до­сти­га­ет­ся при Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние, ко­то­рое может при­ни­мать вы­ра­же­ние если все­воз­мож­ны­ми спо­со­ба­ми за­ме­нять каж­дый из зна­ков * на + или −, равно Оно до­сти­га­ет­ся при   — в слу­чае, когда каж­дый из зна­ков * заменён на +.

Ответ: а) Да; б) Нет; в)