СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 523406

а) Можно ли в числителе и знаменателе дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна

б) Можно ли в числителе и знаменателе дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна

в) Какое наименьшее значение может принимать выражение если всевозможными способами заменять каждый из знаков * на + или −?

Решение.

а) Да. Например,

б) Рассмотрим какую-либо возможную расстановку знаков в знаменателе 1*5*10*15*20 данной дроби. Имеем где знаки + и − расставлены соответствующим образом. Сумма всех чисел в последних скобках чётна и может принимать значения вида 2m, где m — некоторое целое число от −5 до 5. Значит, знаменатель дроби равен Среди всех возможных значений m знаменатель делится на 9 лишь при Следовательно, если знаки расставлены так, что данная дробь равна то её знаменатель 1*5*10*15*20 равен −9. Тогда её числитель 1*4*8*12*16 равен −4. Пришли к противоречию, так как число всегда при делении на 4 даёт остаток 1, а число −4 — остаток 0. Значит, расставить знаки требуемым образом невозможно.

в) Аналогично доказанному в пункте б) получаем, что при всевозможных расстановках знаков + и − выражение примет вид где k и m пробегают все целые числа от −5 до 5. Поскольку получаем При фиксированном значении m это выражение минимально при В этом случае оно равно Так как m пробегает все целые числа от −5 до 5, максимум модуля достигается при Значит, наименьшее значение, которое может принимать выражение если всевозможными способами заменять каждый из знаков * на + или −, равно Оно достигается при  — в случае, когда каждый из знаков * заменён на +.

 

Ответ: а) Да; б) Нет; в)


Аналоги к заданию № 523381: 523406 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства