1. Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 8x минус 1 правая круглая скобка .$

Решение. Левая часть неравенства определена при $0 меньше x меньше 1,$ при таких значениях переменной находим:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1\leqslant8x минус 1 равносильно дробь: числитель: 8x в кубе минус 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби \geqslant0 \underset x не равно 0 \mathop равносильно 8x в кубе минус 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1\leqslant8x минус 1 равносильно дробь: числитель: 8x в кубе минус 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби \geqslant0 \underset x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 8x в кубе минус 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1\leqslant8x минус 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 8x в кубе минус 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби \geqslant0 \underset x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 8x в кубе минус 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Учитывая ограничения $0 меньше x меньше 1,$ получаем: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 1.$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

Примечание.

Заметим, что при $0 меньше x меньше 1$ и выполнении условия $дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1\leqslant8x минус 1$ выполняется и условие $8x минус 1 больше 0.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

520982

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

Источники:

ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Вариант 502 (часть 2);

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2018;

Задания 15 ЕГЭ–2024;

ЕГЭ по математике 29.03.2024. Досрочная волна. Дальний Восток.

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

2. Решите неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 27x минус 1 правая круглая скобка .$

$дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1 меньше или равно 27x минус 1 равносильно дробь: числитель: 27x в кубе минус 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби больше или равно 0 \underset x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 27x в кубе минус 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1 меньше или равно 27x минус 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 27x в кубе минус 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби больше или равно 0 \underset x не равно 0 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 27x в кубе минус 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Учитывая ограничения $0 меньше x меньше 1,$ получаем: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше 1.$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$

661143

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$

Источники:

ЕГЭ по математике 29.03.2024. Досрочная волна. Санкт-Петербург. Часть 2;

Задания 15 ЕГЭ–2024.

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции