а)  Пусть сто­ро­на CD пря­мо­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся окруж­но­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния в точке K, O₁  — центр ниж­не­го ос­но­ва­ния, а O  — центр верх­не­го. Тогда O₁O  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, от­ре­зок O₁K пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку CD и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен CD. По­это­му K  — се­ре­ди­на CD. Тогда упо­мя­ну­тый угол на­кло­на  — угол OKO₁  =  60° и

где r  — ра­ди­ус ци­лин­дра. При этом по­это­му зна­чит, ABCD  — квад­рат.

б)  Пусть от­ре­зок BD пе­ре­се­ка­ет по­верх­ность ци­лин­дра в точке T; E и F  — про­ек­ции точек D и T со­от­вет­ствен­но на плос­кость верх­не­го ос­но­ва­ния. Тогда FT лежит на об­ра­зу­ю­щей, и по­это­му от­ре­зок FT па­рал­ле­лен от­рез­ку DE. Зна­чит, По­сколь­ку как угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр,

По­это­му и т. е.

Ответ: 0,8.

а)  Пусть сто­ро­на CD пря­мо­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся окруж­но­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния в точке K, O₁  — центр ниж­не­го ос­но­ва­ния, а O  — центр верх­не­го. Тогда O₁O  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, от­ре­зок O₁K пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку CD и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен CD. По­это­му K  — се­ре­ди­на CD. Тогда упо­мя­ну­тый угол на­кло­на  — и где r  — ра­ди­ус ци­лин­дра. При этом по­это­му зна­чит, ABCD  — квад­рат.

б)  Пусть от­ре­зок BD пе­ре­се­ка­ет по­верх­ность ци­лин­дра в точке T, E и F  — про­ек­ции точек D и T со­от­вет­ствен­но на плос­кость верх­не­го ос­но­ва­ния. Тогда FT лежит на об­ра­зу­ю­щей, и по­это­му от­ре­зок FT па­рал­ле­лен от­рез­ку DE. Кроме того, и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, как про­ек­ция AD. Зна­чит, По­сколь­ку как угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, По­это­му и то есть

Ответ: