Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен 
а) Пусть сторона CD прямоугольника касается окружности нижнего основания в точке K, O1 — центр нижнего основания, а O — центр верхнего. Тогда O1O — перпендикуляр к плоскости основания, отрезок O1K перпендикулярен отрезку CD и по теореме о трех перпендикулярах отрезок OK перпендикулярен CD. Поэтому K — середина CD. Тогда упомянутый угол наклона — 
и 
где r — радиус цилиндра. При этом 
поэтому 
значит, ABCD — квадрат.
б) Пусть отрезок BD пересекает поверхность цилиндра в точке T, E и F — проекции точек D и T соответственно на плоскость верхнего основания. Тогда FT лежит на образующей, и поэтому отрезок FT параллелен отрезку DE. Кроме того, 
и 
по теореме о трех перпендикулярах, как проекция AD. Значит,
Поскольку 
как угол, опирающийся на диаметр, 
Поэтому и 
то есть 
Ответ: 