PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим три случая.
1) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.
2) Если 
то координаты любой точки прямой 
удовлетворяют уравнению.
3) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.
Таким образом, в первом случае получаем дугу 
окружности 
с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу 
окружности 
с концами в точках A и B(0; −2) (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.
Прямые m проходят через точки B, O и A при 
и 
соответственно.
При 
и 
прямые m касаются дуг и соответственно.
Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при и 
имеет две общие точки с дугой при 
имеет одну общую точку с дугой при 
и 
имеет две общие точки с дугой при 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличащееся от искомого только включением/исключением точек a = 2 и/или a = 0 | 3 |
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: (0; 2) или  возможно, с включением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл: | 4 |
то получаем уравнение
и радиусом 1.
во втором — прямую l, задаваемую уравнением 
окружности 
с концами в точках A и 
(см. рис.).
и 
соответственно.
и 
прямые m касаются дуги 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
и 
множества значений a, возможно, с включением граничных точек
с концами в точках O и A(0; 4), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу 
с концами в точках A и B(0; −4) (см. рис.).
и 
соответственно.
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
