PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим четыре случая:
1. Если 
и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт пару прямых 
и 
Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата 
с вершиной в начале координат.
2. Если и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.
3. Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.
4. Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт прямую 
Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата с вершиной в начале координат.
Точки 
являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых 
и/или 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением 
отрезка AB прямой 
дуги 
параболы 
с концами в точках B и C и дуги 
параболы 
с концами в точках A и C (см. рис.)
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.
Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол и в точке C.
При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При a = 0 прямая m касается дуг и в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.
При 
прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг и в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.
При 
или 
прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
Ответ:
Примечание Алексея Лапатина.
Утверждение «при a = 0 прямая m, касается парабол», используемое авторами в официальных критериях, далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Я вижу два варианта его обоснования.
1. Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y = x для второй кривой m также будет касательной.
2. Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая y = −x отвечает этому требованию для обеих парабол.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a отличающееся от искомого только исключением точки a = 1 | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 0 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и 
то получаем уравнение
лежащего в третьей координатной четверти и имеющий вершину в начале координат. 
то получаем уравнение
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая выше оси Ox и расположенная между прямыми 
и 
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая правее оси Oy и заключенная между прямыми 
и 
и 
Случаю удовлетворяют лучи этих прямых, расположенные вне полос 
и 
прямая m пересекает график Г в трех точках точках, а значит, исходная система имеет три решения.
или при 
прямая m пересекает график Г в одной точке.
и 
то получаем уравнение
Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата 
то получаем уравнение
Случаю удовлетворяет только дуга выше прямой 
и 
Случаю удовлетворяет только дуга правее прямой 
и 
являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых 
и/или 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением 
с концами в точках B и C и дуги 
с концами в точках A и C (см. рис.).
то есть система имеет одно решение. Факт касания должен быть пояснен. Точки пересечения прямой и параболы могут быть описаны уравнением 
Для дуги параболы 
который лежит в первой координатной четверти, с вершиной в начале координат. 
то получаем уравнение
и 
и 
который лежит в первой координатной четверти, с вершиной в начале координат. 