а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся числа 6222 и 6219.

б)  Пред­по­ло­жим, что такие числа су­ще­ству­ют. Рас­смот­рим какие-⁠либо два таких ин­те­рес­ных числа. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них, а k  — та из цифр a, b, c или d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, четвёртая цифра мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел равна d − 1. Так как c ≠ 0, тре­тья цифра этого числа равна c − 1.

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что вто­рая цифра этого числа равна b − 1. На­ко­нец, пер­вая цифра этого числа равна a. Зна­чит, сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел на три мень­ше суммы чисел боль­ше­го из них. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­ме­ры ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 2, 3, 5, и 7: число 2114 крат­но 2 и 7, число 9135 крат­но 3 и 5.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-⁠либо ин­те­рес­но­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число b − a + d − c крат­но 11. По­сколь­ку a, b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо b + d  =  a + c, либо эти две суммы от­ли­ча­ют­ся на 11. Со­ста­вим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k  — та из цифр a, b, c и d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих, l  — та из них, ко­то­рая в паре с k. Пусть m и n  — две остав­ши­е­ся из цифр a, b, c и d. По­сколь­ку k  =  l + m + n, имеем k + l > m + n. Зна­чит, k + l  =  m + n + 11. Вы­чи­тая из этого ра­вен­ства ра­вен­ство k  =  l + m + n, по­лу­ча­ем l  =  11 − l . Сле­до­ва­тель­но, 2l  =  11. При­шли к про­ти­во­ре­чию. Зна­чит, не су­ще­ству­ет ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а)  да, на­при­мер 6222 и 6219; б)  нет; в)  11.

а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся числа 7124 и 7119.

б)  Пред­по­ло­жим, что такие числа су­ще­ству­ют. Рас­смот­рим какие-либо два таких ин­те­рес­ных числа. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них, а k  — та из цифр a, b, c или d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, четвёртая цифра мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел равна d − 1. Так как c − 9, либо от­ри­ца­тель­но, либо равно 0, тре­тья цифра мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел равна c + 1. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что вто­рая цифра этого числа равна b − 1. На­ко­нец, пер­вая цифра этого числа равна a. Зна­чит, сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел на еди­ни­цу мень­ше суммы чисел боль­ше­го из них. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­мер ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 3, 5, 7 и 9,  — это число 9135.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-либо ин­те­рес­но­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число b − a + d − c крат­но 11. По­сколь­ку a, b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо b + d  =  a + c, либо эти две суммы от­ли­ча­ют­ся на 11. Со­ста­вим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k  — та из цифр a, b, c и d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих, l  — та из них, ко­то­рая в паре с k. Пусть m и n  — две остав­ши­е­ся из цифр a, b, c и d. По­сколь­ку k  =  l + m + n, имеем k + l > m + n. Зна­чит, k + l  =  m + n + 11. Вы­чи­тая из этого ра­вен­ства ра­вен­ство k  =  l + m + n, по­лу­ча­ем l  =  11 − l . Сле­до­ва­тель­но, 2l  =  11. При­шли к про­ти­во­ре­чию. Зна­чит, не су­ще­ству­ет ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а) Да, на­при­мер, 7124 и 7119; б) нет; в) 11.

а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся числа 4228 и 4211.

б)  Пред­по­ло­жим, что такие числа су­ще­ству­ют. Рас­смот­рим какие-либо два

таких ин­те­рес­ных числа. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них,   — де­ся­тич­ная за­пись мень­ше­го из них, а k  — та из цифр a, b, c и d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел также чётна. Так как имеем от­сю­да по­лу­ча­ем Так как имеем по­это­му

Таким об­ра­зом, числа и раз­ной чётно­сти. При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию.

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­мер ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 2,  — это число 1124, и числа, крат­но­го 3, 5 и 7,  — это число 9135.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-либо ин­те­рес­но­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число крат­но 11. По­сколь­ку a, b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо либо эти две суммы от­ли­ча­ют­ся на 11. Со­ста­вим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k  — та из цифр a, b, c и d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих, l  — та из них, ко­то­рая в паре с k. Пусть также m и n  — две остав­ши­е­ся из цифр a, b, c и d. По­сколь­ку имеем Зна­чит, Вы­чи­тая из этого ра­вен­ства ра­вен­ство по­лу­ча­ем и, сле­до­ва­тель­но, При­шли к про­ти­во­ре­чию. Зна­чит, не су­ще­ству­ет ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а) 4228 и 4211; б) нет; в) 11.

а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся числа 2916 и 3137.

б)  Пред­по­ло­жим, что такие числа су­ще­ству­ют. Рас­смот­рим какие-либо два таких ин­те­рес­ных числа. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них,   — де­ся­тич­ная за­пись мень­ше­го из них, а k  — та из цифр a, b, c и d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что сумма цифр мень­ше­го из рас­смат­ри­ва­е­мых ин­те­рес­ных чисел также чётна. Так как имеем от­сю­да по­лу­ча­ем Так как оба числа четырёхзнач­ные, зна­чит, числа и раз­ной чётно­сти. При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию.

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­мер ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 3, 5, 7 и 9,  — это число 9135.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-либо ин­те­рес­но­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число крат­но 11. По­сколь­ку a, b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо либо эти две суммы от­ли­ча­ют­ся на 11. Со­ста­вим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k  — та из цифр a, b, c и d, ко­то­рая равна сумме трёх дру­гих, l  — та из них, ко­то­рая в паре с k. Пусть также m и n  — две остав­ши­е­ся из цифр a, b, c и d. По­сколь­ку имеем Зна­чит, Вы­чи­тая из этого ра­вен­ства ра­вен­ство по­лу­ча­ем и, сле­до­ва­тель­но, При­шли к про­ти­во­ре­чию. Зна­чит, не су­ще­ству­ет ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а) 2916 и 3137; б) нет; в) 11.